Le tappe della Matematica: una introduzione alla Storia della Matematica, ripercorrendo le principali tappe conquistate dall’uomo in questa disciplina nella sua evoluzione storica. 3200 a. C. – 1000 a.C. In Egitto, Mesopotamia, India, Cina è già noto il numero pi greco, per la risoluzione di problemi pratici vengono già utilizzate le quattro operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione tra numeri interi e anche tra frazioni; sono conosciute le equazioni quadratiche e si sa calcolare l’area di quasi tutte le figure geometriche. Tale abilità di calcolo consentiva di risolvere molti problemi geometrici e aritmetici di ordine pratico, legati alle necessità della vita quotidiana. Testimonianza di ciò è contenuta negli scritti delle tavolozze di terracotta ritrovate negli scavi archeologici, e negli antichi papiri, il più famoso dei quali è il papiro di Rhind. 1400 a. C. – 500 a.C. Gli antichi Greci definiscono i due processi mentali che stanno alla base del processo matematico: l’astrazione, cioè trarre un’idea generale dalla percezione di una o più qualità comuni a cose diverse, e la dimostrazione, ovvero giungere da certe premesse a una conclusione in modo che non si possano trovare contraddizioni in nessuna parte dell’argomentazione. Talete (Mileto, ~624-~547 a.C.) stabilisce alcuni importanti teoremi di geometria, misura l’altezza della piramide di Cheope, in Egitto applicando la similitudine dei triangoli. Talete viene considerato l’iniziatore dell’indagine scientifica, in quanto ricerca le cause dei fenomeni naturali proponendone una spiegazione razionale. 500 a. C. – 400 a. C. Pitagora (Samo, ~571- ~496 a.C.) e la sua Scuola formulano e dimostrano il teorema sui triangoli rettangoli che porta il nome del maestro. Ai pitagorici si deve anche lo studio delle relazioni tra numeri, dei quadrati e dei cubi; la scoperta dei numeri irrazionali; la risoluzione delle equazioni quadratiche miste; lo studio dei poliedri regolari, e la scoperta delle relazioni tra la lunghezza e il tono di una corda vibrante. 400 a. C. – 300 a. C. Il greco Ippocrate (Coo, 460-377) scrive il primo trattato di geometria Elementi, in cui per primo introduce le lettere dell’alfabeto per descrivere le figure geometriche. I greci Democrito (Abdera, 460-370), Eudosso (Cnido, 408-353) e Archita (Taranto, 428 a.C.–Matino, 347 a.C.) risolvono importanti problemi di geometria e aritmetica, quali la determinazione di volumi, il teorema della sezione aurea, e il metodo della esaustione. 300 a. C. – 100 a. C. Il greco Euclide (Alessandria, ~367-283 a.C.) espone negli Elementi di geometria, in forma sistematica e con numerose intuizioni proprie, le proporzioni geometriche e la teoria dei numeri, patrimonio della cultura matematica ellenica dell’epoca. Nella sua opera importa le conoscenze matematiche della cultura babilonese e di quella egiziana, le riordina e sistema procedendo per definizioni, postulati, assiomi, con una esposizione che è rimasta classica per ogni tempo. Il siciliano Archimede (Siracusa, ~287–212 a.C.) si occupa in maniera geniale di aritmetica, algebra, geometria, fisica: tratta dei grandi numeri, di equazioni cubiche, di potenze. Con il suo lavoro anticipa la legge esponenziale e il calcolo logaritmico e pone i primi fondamenti del calcolo integrale. Il greco lpparco (Nicea 190-125) fonda la trigonometria piana e sferica. 100 a. C. – 300 d. C. Il greco Erone (Erone il vecchio) (Alessandria, ~10 a.C.-~70 d.C.) compie importanti studi di geometria e fisica. Il greco Claudio Tolomeo (~100 d.C.-~175 d.C.) nell’Almagesto tratta problemi di trigonometria piana e sferica, introducendo gradi, minuti e secondi nella misurazione degli angoli. I Cinesi usano il sistema di numerazione decimale. Il greco Diofanto usa per primo i simboli algebrici ed enuncia le regole per risolvere equazioni di primo e di secondo grado. È considerato il padre dell’algebra. 300 d. C. – 550 d. C. Il latino Severino Boezio (Roma, 480-524) compie ricerche di logica, matematica, geometria, che avranno grande influenza durante tutto il Medioevo. 550 d. C. – 750 d. C. Gli Indiani usano la numerazione posizionale e i numerali indù: simboli per i numeri dall’1 al 9, più lo 0. I Cinesi introducono l’estrazione della radice quadrata, le equazioni cubiche, il sistema indù di numerazione. 750 d. C. – 850 d. C. Gli Arabi diffondono la numerazione posizionale indiana, detta poi in Occidente ‘arabica’. Compaiono nella matematica e nell’astronomia numerosi termini di origine araba: algebra, algoritmo, nadir, zenit, cifra, zero ecc. Il turkestano Muhammad ibn Mùsa al Khuwarizmi compone il trattato Al-giabr wa’l mu kabala, ovvero Del modo di assestare cose opposte, dalla cui parola iniziale deriverà il termine ‘algebra’. 850 d. C. – 1150 d. C. L’indiano Sridhara (nato nel 991) nel suo Compendio di calcolo dà una chiara considerazione sull’uso dello zero, con le proposizioni a+0=a; 0xa=0; ax0=0. Il persiano Omar Khayyam (morto a Nishapur circa nel 1123) sviluppa il sistema di calcolo delle radici irrazionali, detta le regole per l’estrazione di radici e indici arbitrari e per la soluzione di equazioni cubiche. 1150 d. C. -1250 d. C. Leonardo Fibonacci nel suo trattato Liber Abaci (1202) fa risaltare i vantaggi del sistema di numerazione arabo, introducendolo in Europa. 1250 d. C. – 1400 d. C. Il francese Nicola di Oresme (Oresme, 1325-Lisieux, 1382) espone la teoria delle quantità irrazionali e la teoria delle funzioni, concetto fondamentale della matematica in Occidente. 1400 d. C. – 1500 d. C. Luca Pacioli (Borgo Sansepolcro, 1445-1517) pubblica nel 1494 la Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità, primo trattato generale di aritmetica e algebra, con un accenno al calcolo delle probabilità e ai logaritmi. 1500 d. C. – 1600 d. C. Gerolamo Cardano (Pavia, 1501–Roma, 1576) studia le operazioni sui numeri interi, frazionari e irrazionali, discute le radici delle frazioni, espone il sistema di soluzione algebrica delle equazioni di terzo grado; è il primo a trattare le cosiddette grandezze immaginarie. Niccolò Fontana detto Tartaglia (Brescia, ~1499–Venezia, 1557) enuncia nel 1546 il sistema di soluzione delle equazioni cubiche ridotte. Il francese François Viéte (Fontenay-Le Comte, 1540-Parigi, 1603) dà la prima esposizione di algebra simbolica (1591), che permette di scrivere lunghe espressioni matematiche, secondo il metodo moderno. 1600 d. C. – 1700 d. C. Lo scozzese John Napier (Giovanni Nepero) (Edimburgo, 1550-1617) e lo svizzero Jost Bürgi (Licktensteig, 1552-Kassel, 1632) inventano i logaritmi, giungendo allo stesso risultato indipendentemente l’uno dall’altro. L’inglese Henry Briggs (Warleywood, 1561-Oxford, 1631) pubblica (1617-24) le prime tavole di logaritmi a base 10. Il francese Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne, 1601-Castres, 1665) concepisce i principi essenziali della geometria analitica. Bonaventura Cavalieri (Milano, 1598-Bologna, 1647) realizza notevoli progressi nel campo della trigonometria sferica e del calcolo infinitesimale (1632-35). Il francese René Descartes (Renato Cartesio) (La Haye, 1596-Stoccolma, 1650) pubblica (1637), come appendice al Discours de la méthode, la Géometrie, contenente i fondamenti della geometria analitica. Il francese Blaise Pascal (Clermont, 1623-Parigi, 1662) crea le basi della geometria proiettiva e, insieme con Fermat, fonda il calcolo delle probabilità (1639-47). L’inglese Isaac Newton (Woolsthorpe, 1642-Londra, 1727) inventa nel 1665 il calcolo delle flussioni, più tardi detto calcolo differenziale. Il tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz (Lipsia, 1646-Hannover, 1716) giunge nel 1684 per altra via, indipendentemente da Newton, a curare il calcolo differenziale. Lo svizzero Jakob Bernoulli (Basilea, 1654-1705) inventa nel 1687 il calcolo delle probabilità; suo fratello Johann Bernoulli (Basilea, 1667-1748) pone i fondamenti (1697) del calcolo esponenziale. 1700 d. C. – 1800 d. C. Lo svizzero Eulero, nome latinizzato di Leonhard Euler (Basilea, 1707-Pietroburgo, 1783), introduce nel 1744 nella geometria analitica il calcolo delle variazioni, che permette moltissimi nuovi impieghi del calcolo applicato alle curve e alle superficie. 1800 d. C. – 1900 d. C. Il tedesco Karl Friedrich Gauss (Brunswick, 1777-Gottinga, 1855) dà la dimostrazione rigorosa (1797) del teorema fondamentale dell’algebra: ogni equazione ha tante soluzioni quanto è il suo grado. Nel campo della geometria, è il primo a considerare il concetto di spazio curvo, mettendo in crisi la geometria euclidea. Il francese Pierre Simon de Laplace (Beaumont-en-Auge, 1749-Parigi, 1827) espone (1809) i fondamenti del calcolo con funzioni generatrici (analisi matematica) e utilizza il calcolo infinitesimale per sviluppare la teoria delle probabilità. Il francese Augustin Cauchy (Parigi, 1789-Sceaux, 1857) stabilisce (1821) su basi rigorose il calcolo infinitesimale. Il francese Jean-Victor Poncelet (Metz, 1788-Parigi, 1867) fonda la geometria proiettiva (1822). ll norvegese Niels Heinrich Abel (Finney, 1802-Arendal, 1829) fonda la teoria delle equazioni algebriche (1824). Il russo Nikolaj lvanovié Lobacévskij (Makar’ev, 1793-Kazan’, 1856) espone (1926) e poi pubblica nei Nuovi fondamenti della geometria (1835-38) la sua concezione della geometria non euclidea che verrà successivamente detta iperbolica. L’ungherese Janos Bolyai (Kolozsvar, 1802-Marosvasarhely, 1860) pubblica nel 1831 una teoria sulla geometria iperbolica. Il tedesco Bernhard Riemann (Breselenz, Hannover, 1826-Selasca, Lago Maggiore, 1866) elabora nuove teorie sulle funzioni, sugli integrali e sulla costruzione di un sistema geometrico non euclideo (geometria ellittica di Riemann). Postula, inoltre, spazi curvi a tre e più dimensioni. Il tedesco August Ferdinand Mòbius (Schulpforta, 1790-Lipsia, 1868) getta le basi (1863) della topologia, una branca della geometria che studia le proprietà degli enti geometrici che non variano quando vengono sottoposti a una deformazione continua. L’irlandese George Boole (Lincoln, 1815-Cork, 1864) è uno dei fondatori dell’algebra astratta, e il primo ad avere piena coscienza dell’inapplicabilità delle nozioni e dei metodi algebrici a oggetti non materiali. È fondatore anche dell’algebra della logica (logica o algebra booleana). Il tedesco Georg Cantor (Pietroburgo, 1845-Halle, 1918) espone la teoria dei numeri irrazionali, definisce i numeri transfiniti, formula in modo compiuto e rigoroso la teoria degli insiemi. Il tedesco Felix Klein (Dùsseldorf, 1849-Gottinga, 1925) studia i rapporti tra le geometrie non euclidee e la teoria dei gruppi, e definisce rigorosamente l’ambito della topologia. Il tedesco Friedrich Ludwig Gottlob Frege (Wismar, 1848-Bad Kleinen, 1925) inizia l’opera di unificazione tra aritmetica e logica. Giuseppe Peano (Cuneo, 1858-Torino, 1932) espone un completo e organico sistema di calcolo geometrico ed elabora una simbologia che diverrà elemento fondamentale della logica matematica. Federigo Enriquez (Livorno, 1871-Roma, 1946) dà una sistemazione rigorosa alla geometria proiettiva. 1900 d. C. – 1950 d. C. Il tedesco David Hilbert (Königsberg, 1862-Gottinga, 1943) fonda (1899) la geometria assiomatica, che si basa sulla rigorosa deduzione da assiomi fondamentali. Espone (1912) la teoria dell’algebra funzionale (geometria analitica in uno spazio a infinita dimensione). Guido Castelnuovo (Venezia, 1865-Roma, 1952) studia le trasformazioni geometriche bilineari e ricostruisce la teoria delle serie lineari sopra le curve (geometria numerativa). Gregorio Ricci-Curbastro (Lugo, Ravenna, 1853-Padova, 1925) e Tullio Levi-Civita (Padova 1873-Roma 1941) creano il calcolo differenziale assoluto, che permetterà a A. Einstein (1879-1955) di formulare la teoria della relatività. Gli inglesi Bertrand Russell (Trellek, 1872-Penrhyndeudraeth, 1970) e Alfred North Whitehead (Ramsgate, 1861-Cambridge, Massachusetts, 1947) nei Principia mathematica (1910), mediante l’impiego di una simbologia derivata da quella di Peano e di Frege, studiano i fondamenti della logica matematica ed enunciano i postulati della logica delle proposizioni e della teoria dei tipi. L’olandese Luitzen Egbertus Jan Brouwer (Overschie, 1881-Amsterdam, 1966) fonda (1912) l’intuizionismo matematico: i fondamenti della matematica sono validi perché immediatamente intuiti. Vito Volterra (Ancona, 1860-Roma, 1940) fonda il calcolo (o analisi) funzionale (1913). L’austriaco Ludwig Wittgenstein (Vienna, 1889-Cambridge, 1951) nel Tractatus logico-philosophicus (1922) sostiene che la conoscenza consiste nella forma logica del linguaggio e nel criterio di verificabilità dei singoli enunciati, identificando logica e matematica nel comune carattere delle loro proposizioni. L’ungherese naturalizzato statunitense Johann von Neumann (Budapest, 1903-Washington, 1957) elabora (1928) la teoria dei giochi che diverrà fondamentale per la soluzione di un grande numero di problemi di strategia economica, finanziaria, aziendale, pubblicitaria ecc. Il cecoslovacco naturalizzato statunitense Kurt Gödel (Brno, 1906-Princeton, 1978) dimostra (1931) come nei sistemi formali si diano proposizioni non dimostrabili o derivabili nel sistema stesso, pur essendo vere (teorema di Gödel), denunciando la non autosufficienza dell’aritmetica. Lo statunitense Norbert Wiener (Columbia, 1894-Stoccolma, 1964) studia (1943) l’applicazione della logica matematica allo studio dell’attività del sistema nervoso. In una sua opera del 1948, propone il termine cibernetica dal greco kibérnetiké (tékhné), arte di guidare. Nel 1949-50 elabora, con lo statunitense C.E. Shannon (nato 1916), la teoria dell’informazione. 1950 d. C. – 1990 d. C. Il francese René Thom (Montbéliard, 1923) sviluppa (1972) la Teoria delle catastrofi, la quale si occupa dello studio, dal punto di vista della ‘forma’, delle trasformazioni improvvise. Il francese naturalizzato statunitense Benoit B. Mandelbrot (Varsavia, 1924) espone (1975-1982) in modo sistematico lo studio dei frattali, forme geometriche irregolari, frastagliate e spezzate, che hanno dimensione frazionaria e sono dotati di autosomiglianza, cioè appaiono simili se osservati a diverse scale di grandezza.;xNLx;;xNLx;
In Cina, nel 212 a.C. (alla fine del lungo periodo della guerra civile degli Stati combattenti) l'imperatore Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) ordinò il rogo di tutti i testi scritti. Benché alcuni testi si siano salvati, molto poco è conosciuto della matematica cinese precedente a questa data. Un altro fattore che non ha favorito la nostra conoscenza è il fatto che gran parte delle opere erano scritte sul bamboo, molto deperibile. Del precedente periodo Shang (1500 a.C. - 1027 a.C.) il più antico reperto di interesse per la storia della matematica consiste in un guscio di tartaruga su cui sono incisi dei numeri che usano una specie di notazione decimale. Il numero 123 ad esempio è scritto con il simbolo di 1 seguito da quello di centinaia, il simbolo di due seguito da quello di decine e il simbolo di 3. Non sappiamo con precisione quando questo sistema, che era il più avanzato al mondo in quel periodo, fu inventato. Delle conoscenze precedenti al rogo dei libri ci rimangono pochissime testimonianze. La più importante di queste è I nove capitoli dell'Arte matematica che consiste in una raccolta di 246 problemi riguardanti l'agricoltura, il commercio e l'ingegneria.Molti dei problemi esposti nel libro riguardano canne di bambù spezzate che formano dei triangoli rettangoli. la soluzione si ottiene tramite applicazione del Teorema di Pitagora. I matematici cinesi svilupparono una particolare predilezione per i quadrati magici. Secondo la leggenda il primo di questi venne comunicato all'imperatore da una tartaruga uscita dal fiume. Questo interesse portò i cinesi a studiare i sistemi di equazioni lineari e a scoprire la cosiddetta Regola di Horner. Zu Chongzhi (quinto secolo) calcolò il valore di π con sette cifre decimali esatte. Questa fu la miglior stima della costante per i successivi mille anni. Nello studio dei sistemi furono anche i primi a sviluppare concetti analoghi a quelli di matrice. Fu invece il matematico giapponese Kōwa Seki a introdurre nel 1683, dieci anni prima di Leibniz, il concetto di determinante. I cinesi vedevano analogie tra numeri e sessi: i numeri pari erano femminili quelli dispari maschili. I dispari non primi erano considerati effeminati. Inoltre indicavano il numeratore di una frazione come figlio e il denominatore come madre. Già nel secolo IV, in Cina si studiavano le equivalenti dell nostre congruenze lineari. per la risoluzione di queste fu fondamentale la scoperta del Teorema cinese del resto. Nei successivi secoli la matematica cinese si sviluppò includendo i numeri negativi, il Teorema binomiale e il Teorema cinese del resto. I cinesi svilupparono anche il Triangolo di Pascal (o di Tartaglia) che si trova nel frontespizio del trattato Ssu Yuan Yu scritto dal matematico Zhu Shijie.
Il periodo classico della civiltà Maya si situa tra il 200 e l'800 d.C. Gli sviluppi della matematica Maya furono dovuti principalmente ai loro studi astronomici. Essi usarono un sistema posizionale a base venti nel quale appariva anche lo 0. Tuttavia i Maya non considerarono mai lo 0 come un numero ma solo come una cifra. La civiltà Inca (1400-1530) invece sviluppò un sistema di numerazione a base 10. Per indicare i numeri essi usavano i cosiddetti quipu, un insieme di lunghi fili paralleli. Ogni filo rappresentava una potenza di dieci e il numero di nodi la cifra in quella posizione.
Non si trova continuità negli sviluppi della matematica indiana: infatti i contributi importanti sono separati da lunghi intervalli di stagnazione in cui non si raggiunse nessun risultato. Il Surya Siddhanta scritto circa nel 400 introduceva le funzioni trigonometriche del seno, coseno e le loro inverse. Gli indiani si occuparono anche di astronomia riuscendo a compilare precise tavole astronomiche che descrivevano il movimento apparente degli astri in cielo. Calcolarono l'anno siderale in 365.2563627 giorni, un valore inferiore di 1,4 secondi a quello accettato al giorno d'oggi. Questi lavori, durante il medioevo, furono tradotti in Arabo e in Latino. Nel 499 Aryabhata introdusse il senoverso e compilò le prime tavole trigonometriche. Nell'Aryabhata illustrò i metodi di calcolo di aree e volumi dei principali enti geometrici (non tutti corretti) e inoltre in questa opera appare la notazione posizionale decimale. Calcolò il valore di π con quattro cifre decimali.[43] Nel VII secolo invece Brahmagupta (598– 668) per primo nel Brahma-sphuta-siddhanta usò senza riserve lo 0 e il sistema decimale. Scoprì inoltre l'identità e la formula che portano il suo nome non capendo tuttavia che era valida solo per i quadrilateri ciclici; cioè inscrivibili in una circonferenza. Esplicitò le regole di moltiplicazione tra numeri positivi e negativi. È da una traduzione del testo che i matematici arabi accettarono il sistema decimale. Nel XII secolo, Bhaskara (1114 – 1185) scoprì le formule di addizione e sottrazione delle funzioni trigonometriche e concepì dei metodi molto vicini al calcolo differenziale. introducendo concetti simili alla derivata: per calcolare l'angolo di posizione dell'eclittica ad esempio calcolò correttamente l'equivalente delle derivate delle funzioni trigonometriche. Provò anche un equivalente del Teorema di Rolle e studiò l'equazione di Pell. Afferma che qualsiasi quantità divisa per 0 dà infinito. Si dice che avesse predetto la data in cui sua figlia Lilavati si sarebbe dovuta sposare per avere un matrimonio felice; tuttavia una perla cadde nel complesso meccanismo che doveva contare il tempo e così Lilavati rimase vedova. Per consolarla il padre diede il suo nome al suo più importante trattato di matematica. Dal XIV secolo Madhava di Sangamagrama scoprì l'attuale espansione in serie di Taylor della funzione arcotangente ottenendo poi varie serie infinite che danno come risultato π (tra cui la formula di Leibniz per pi) grazie alle quali riuscì a calcolare le prime 11 cifre decimali del numero. Creò la scuola del Kerala i cui membri nei successivi secoli svilupparono il concetto di virgola mobile e utilizzarono metodi iterativi per la soluzione delle equazioni non lineari. Trovarono inoltre le espansioni in serie di Taylor delle altre funzioni trigonometriche. Nonostante si fossero avvicinati a concetti quale quello di derivata i matematici della scuola del Kerala non riuscirono mai a sviluppare una teoria globale del calcolo. Nel XVI secolo per la matematica indiana, anche per via di un periodo di forte instabilità politica, iniziò il declino.
La matematica greca è molto più moderna di quella sviluppata dalle precedenti culture quali quella egiziana e babilonese, in quanto tali precedenti culture utilizzavano il ragionamento empirico che sfrutta le osservazioni ripetute per fondare le regole della matematica. La matematica greca antica, all'opposto, si basa sul ragionamento deduttivo, che partendo da assiomi più o meno scontati usa rigorosi ragionamenti per dimostrare teoremi.. Su questa idea ancor oggi si basa tutta la matematica moderna. I Greci si occuparono quasi esclusivamente di Geometria e, secondo i loro canoni si potevano usare solo due strumenti per la costruzione e lo studio di figure geometriche: la riga (non taccata) e il compasso (che si chiudeva non appena sollevato dal foglio, e quindi non poteva servire per riportare una misura). Ragionamenti che coinvolgevano altri strumenti erano a volte utilizzati, ma venivano considerati non rigorosi. Si ritiene che la matematica greca abbia avuto inizio con Talete di Mileto (624-546 a.C. ca.) e Pitagora di Samo (582 — 507 a.C. ca.). Questi furono probabilmente influenzati dalle idee della matematica egiziana, della matematica babilonese anche se riuscirono certamente a rielaborare in modo originale le conoscenze di questi popoli. Talete si occupò di geometria, scoprendo per esempio il teorema secondo il quale un triangolo inscritto in una semicirconferenza è sempre rettangolo e molte proposizioni riguardanti i triangoli simili. Grazie a tali teoremi, secondo la leggenda, riuscì a determinare l'altezza della piramide di Cheope misurando la sua ombra. Pitagora invece fu il fondatore della Scuola pitagorica, una setta i cui membri si dedicavano alla ricerca matematica. La scuola pitagorica presentava anche connotazioni filosofiche e mistiche: i membri per esempio seguivano ideali di perfezione nel numero cinque (e quindi al pentagono e al dodecaedro) e nella sfera. Tutta la filosofia della setta era fondata sui numeri naturali e sui loro quozienti, i numeri razionali. Inoltre i pitagorici credevano nella metempsicosi ed erano vegetariani. Questa comunità diede importanti contributi alla geometria, primo fra tutti la dimostrazione del Teorema di Pitagora (sembra già trovato empiricamente da egiziani e babilonesi) e alla teoria dei numeri, come la classificazione e lo studio dei numeri figurati e dei numeri perfetti, la scoperta delle terne pitagoriche e del crivello di Eratostene. Paradossalmente la scoperta più importante della comunità fu forse la dimostrazione che il rapporto tra il lato e la diagonale di un quadrato (ossia radice di 2) non è esprimibile come rapporto di due interi. Questa scoperta, che prova l'esistenza dei numeri irrazionali, si scontrava con tutta la filosofia della setta. Secondo la tradizione riportata da alcuni autori posteriori, il pitagorico Ippaso di Metaponto fece tale scoperta durante un viaggio in nave, ed ebbe l'infelice idea di comunicarla senza indugio agli altri adepti della setta, i quali comprendendone immediatamente le conseguenze gettarono lo stesso Ippaso in mare. Altri autori menzionano semplicemente il fatto che Ippaso morì in un naufragio. Di fatto, se pure ci fu un tentativo dei pitagorici di tenere nascosta la scoperta, questo non riuscì. Oggi si ritiene più probabile che la dimostrazione dell'irrazionalità di sia più tarda e che i pitagorici abbiano osservato l'irrazionalità della diagonale del pentagono di lato unitario (ossia sezione aurea). Più tardi la matematica greca si diffuse e nacquero per esempio i tre problemi classici: la quadratura del cerchio, la duplicazione del cubo e la trisezione dell'angolo, da risolvere usando solo riga e compasso. L'impossibilità di risolvere questi problemi è stata provata solo nell'epoca moderna; già nell'antichità furono trovate soluzioni che però coinvolgevano altri strumenti oltre ai due "canonici". Nello studiare questi problemi si distinsero matematici come Archita di Taranto, Ippia di Elide e Ippocrate di Chio. Quest'ultimo riuscì nella difficile impresa della quadratura delle lunule circolari ossia parti di piano racchiuse da due circonferenze passanti per due punti dati. Eudosso di Cnido fu invece il primo a cercare di approssimare un cerchio tramite poligoni regolari (metodo di esaustione). Importante in quel periodo fu anche l'opera logica di Aristoteleche, nell'Organon, sviluppò il concetto di sillogismo.
L'Impero islamico arrivò a dominare, nell'VIII secolo d.C. il Nord Africa, la Penisola iberica e parte dell'India. Entrarono così in contatto con la matematica ellenistica e con quella indiana. Nella seconda metà dell'VIII secolo Baghdad divenne un nuovo centro del sapere a livello mondiale. Sovrani come al-Mansur, Hārūn al-Rashīd e al-Maʾmūn si dimostrarono attenti nei confronti della matematica e preservarono dalla distruzione molte opere matematiche greche che altrimenti sarebbero probabilmente andate perse. Thābit ibn Qurra fondò una scuola di traduttori che tradusse in arabo le opere di Archimede, Euclide e Apollonio. Gli Arabi tradussero, inoltre, molti testi indiani. Questi fatti contribuirono non poco alla nascita della matematica islamica. Molti tra i più grandi matematici islamici erano persiani. Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (780-850), un matematico persiano, scrisse importanti volumi sul sistema di numerazione indiano e sui metodi per risolvere equazioni. La parola "algoritmo" deriva dal suo nome e "Algebra" dal titolo della sua opera più importante, l'al-Jabr wa al-muqābala. In questa opera Al-Khwarizmi oltre a introdurre il sistema decimale nel mondo arabo trova metodi grafici e analitici per la risoluzione delle equazioni di secondo grado con soluzioni positive (vedi approfondimento). Il nome al-jabr si riferisce al nome che il matematico dà all'operazione di riduzione di termini uguali da parti opposte dell'uguale tramite sottrazione.[54] Per questi motivi egli è considerato da molti il fondatore dell'algebra moderna. Ibn Qurra studiò i numeri amicabili. Altri sviluppi alla materia furono apportati da Abu Bakr al-Karaji (953-1029) nel suo trattato al-Fakhri. Nel X secolo, Abu l-Wafa tradusse le opere di Diofanto di Alessandria in arabo e studiò la trigonometria ottenendo le formule di addizione e sottrazione per il seno. Alhazen studiò invece l'ottica. Omar Khayyam (1048-1131) fu poeta e matematico. Scrisse le Discussioni sulle difficoltà in Euclide nel quale tentava di dimostrare il quinto postulato di Euclide riguardante le rette parallele (data una retta e un punto fuori di essa esiste solo una parallela alla retta data passante per quel punto) partendo dagli altri quattro; impresa che sarebbe poi diventata un "chiodo fisso" per i matematici. Diede una soluzione geometrica all'equazione di terzo grado ma non riuscì a risolverla per radicali. Il matematico Nasir al-Din Tusi sviluppò invece nel XIII secolo la trigonometria sferica e scoprì la legge dei seni per il triangolo sferico. Nel XIV secolo, Ghiyath al-Kashi calcolò il valore di π con 16 decimali. Al-Kashi trovò anche la regola di Ruffini per scoprire la radice ennesima di un'equazione. Inoltre nella sua opera si trova il primo esempio conosciuto di dimostrazione per induzione tramite la quale viene dimostrato il teorema binomiale. Il matematico era anche a conoscenza del triangolo di Tartaglia. Nel XIII secolo e nel XIV secolo la matematica araba entrò in crisi a causa di un periodo di forte instabilità politica e religiosa, nonché per il diffondersi di sette di movimenti ostili al sapere matematico. I molti popoli che si susseguirono nel mondo arabo dal XII secolo contribuirono al definitivo declino della scienza e della matematica arabe.
Grazie alle sue numerose scoperte, l’India ha svolto un ruolo fondamentale nello sviluppo della Matematica, che è avvenuto tra il 1200 e il 200 a.C, infatti i primi studi matematici sono stati compiuti intorno al 1000 a.C. L’India ha dato quindi un grande contributo alla matematica: gli indiani scoprirono il sistema di numerazione posizionale, fondato sull’uso di nove simboli per scrivere tutti i numeri e dello zero (sistema decimale), formularono le regole per le quattro operazioni, risolsero equazioni di primo grado del tipo: “ax + by = c” o “ax – by = c” ed equazioni di secondo grado della forma: x2 – ay2 = 1. Successivamente, queste conoscenze furono diffuse in Italia nel 1200 d.C. Grazie all’introduzione di un segno rotondo per indicare lo zero, è stato completato il moderno sistema di numerazione per gli interi. Anche se l’aspetto delle cifre era molto diverso da quello attuale, i principi di base erano comunque acquisiti: gli indiani sapevano che un’equazione ammette due radici o soluzioni che potrebbero risultare negative o irrazionali e conoscevano le regole di calcolo: “a + 0 = 0”, “a – 0 = 0” e “a * 0 = 0”. Lo zero era trattato come tutti gli altri numeri e non come un numero che rappresentava “assenza di quantità”, come oggi. Gli indiani svilupparono ottimi procedimenti e grandi abilità tecniche, ma non si preoccuparono di giustificare le regole impiegate: le loro opere costituiscono una raccolta di regole e problemi, ma sono carenti di sistemazione logica fra le varie parti. L’India non è soltanto la patria dello zero e delle cifre che gli arabi portarono dall’India all’Europa. Infatti, tra il IV secolo a.C. ed il III secolo d.C., i matematici indiani furono i primi a sviluppare ricerche su teorie degli insiemi, di logaritmi, di equazioni di terzo grado, di equazioni di quarto grado, di estrazione di radici quadrate, di potenze finite e infinite e di algoritmi per il calcolo di numeri irrazionali.
Subito dopo la caduta dell'Impero romano d'Occidente gran parte della matematica greca andò persa. Molte biblioteche, come quella di Alessandria, andarono distrutte. Solitamente gli studiosi cristiani non diedero importanza alla matematica nei loro lavori. Nei primi secoli dopo la fine dell'Impero romano non ci fu quasi nessun progresso nel sapere matematico. Anche se la matematica, divisa in Aritmetica, Geometria, Astronomia e Musica (Quadrivio), faceva parte delle Arti Liberali, le nozioni matematiche studiate riguardavano soprattutto l'agrimensura. Verso l'XI secolo la cultura occidentale entrò in contatto con quella araba e grazie anche alla scuola di traduttori di Toledo e a persone come Adelardo di Bath, iniziarono a circolare in Europa le traduzioni dall'arabo di classici matematici antichi come gli Elementi ma anche di lavori arabi quali l'Algebra di al-Khwarizmi e greci come l'Almagesto di Tolomeo. Verso quel periodo si situa anche la rinascita economica dell'Occidente che portò i commercianti a fare sempre più uso della matematica. Leonardo Fibonacci (1170-1250 ca), detto anche Leonardo Pisano, fu probabilmente il più grande matematico del periodo. Nel suo Liber Abaci fece conoscere in Europa il sistema di numerazione decimale e lo zero. Nel trattato si trovano molti problemi di natura pratica o commerciale, alcuni di essi comunque svelano le grandi doti di matematico di Fibonacci come quello della moltiplicazione dei conigli che genera la sequenza di Fibonacci. Inoltre espone le regole per trasformare una qualunque frazione in una frazione egizia. Nella sua opera vengono esposte anche l'identità di Fibonacci e il metodo di falsa posizione e quello della doppia falsa posizione. Nei secoli successivi lo sviluppo della matematica accelerò. Nicola Oresme (1323 – 1382) anticipò anche i concetti di potenza irrazionale e grafico di una funzione: fu infatti il primo ad avere l'idea di rappresentare il movimento con un grafico alla maniera moderna. Fu uno dei primi ad occuparsi di serie infinite, scoprendo i risultati di molte di esse e dimostrando la divergenza della serie armonica. Lo studio delle serie infinite fu forse l'argomento più innovativo della matematica medioevale. Oresme rimane una delle menti più innovative di tutta la matematica medioevale europea ma molte delle sue idee furono dimenticate e dovettero aspettare secoli per essere riscoperte e rielaborate. Nel XV secolo si può situare la nascita della matematica europea moderna. Le opere del tedesco Regiomontano apportarono un enorme sviluppo alla trigonometria. Luca Pacioli (1445-1514) riassunse tutta le conoscenze matematiche del tempo nella sua Summa. Gli artisti Leon Battista Alberti, Piero della Francesca e Albrecht Dürer si interessarono invece di prospettiva e di geometria descrittiva.
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Nell'Europa del cinquecento, e in particolare in Italia, si diffuse un forte interesse per l'algebra. In questo secolo si cominciarono ad accettare i numeri negativi chiamati spesso "falsi". I matematici iniziarono a sfidarsi pubblicamente a risolvere alcuni problemi. Su queste competizioni si basava gran parte della fama dei matematici; è dunque comprensibile come molte scoperte rimanessero per molto tempo segrete, in modo da poter servire come "arma" nei confronti pubblici. Fu questo il caso della soluzione per radicali dell'equazione di terzo grado, scoperta nel 1510 da Scipione del Ferro, ma tenuta segreta e riscoperta successivamente da Niccolò Tartaglia (1550-1557), uno dei più importanti matematici del periodo e autore fra l'altro di una traduzione degli Elementi in italiano. Tartaglia riuscì così a diventare uno dei matematici più in vista dell'epoca e confidò, sembra sotto giuramento, il metodo risolutivo a un altro protagonista della matematica rinascimentale, Girolamo Cardano (1501-1576). Egli non esitò però a pubblicarlo risolutivo nella sua opera Ars magna del 1545. Ciò fece nascere una disputa tra i due che si concluse con la sconfitta di Tartaglia. Nell'Ars magna veniva anche esposto il metodo risolutivo dell'equazione di quarto grado, scoperto non da Cardano, bensì dal suo allievo Ludovico Ferrari. Molti considerano la pubblicazione dell'Ars magna come il vero atto d'inizio della matematica moderna. Cardano fu il primo ad accorgersi che in certi casi la formula risolutiva dell'equazione di terzo grado richiedeva di calcolare la radice quadrata di un numero negativo, nel caso in cui c'erano tre soluzioni (reali). Rafael Bombelli (1526-1573), nella sua Algebra, propose di trattare le radici quadrate dei numeri negativi (chiamati da Bombelli, più di meno) come se fossero dei numeri a tutti gli effetti, fintantoché venissero eliminati alla fine delle operazioni di risoluzione. Bombelli dimostrò un'apertura notevole, visto che alcuni fra i suoi contemporanei faticavano persino ad accettare la nozione di numero negativo. François Viète (1540-1603) dette importanti contributi alla trigonometria scoprendo le formule di prostaferesi. Scoprì inoltre la famosa formula di Viète per il calcolo di pi greco. A lui e a Albert Girard si devono anche le formule che collegano i coefficienti e le radici di un'equazione. Risolse anche una particolare equazione di quarantacinquesimo grado utilizzando metodi trigonometrici e trovò anche un altro modo per risolvere l'equazione di terzo grado (vedi approfondimento). Forse la scoperta più innovativa del periodo furono i logaritmi descritti da John Napier nel Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Questa scoperta facilitò enormemente i calcoli soprattutto astronomici, riducendo le moltiplicazioni a somme e l'elevazione a potenza a moltiplicazioni. Nel XVI secolo vi fu anche un'ampia rivoluzione della notazione matematica: nel 1489 Johann Widman usò per primo i segni + e -, nel 1557 Robert Recorde inventò il segno =, successivamente William Oughtred utilizzò il segno x per indicare la moltiplicazione e Thomas Harriot i segni > e <. Viète fu invece il primo ad usare lettere per indicare i coefficienti delle equazioni, pratica che si sarebbe evoluta fino alla forma attuale assunta con Cartesio.
Nel XVII secolo la matematica europea ricevette un forte impulso. Gli uomini di scienza iniziarono a riunirsi in accademie o società come la Royal Society e la Académie française e furono istituite le prime cattedre di matematica nelle università. Ciò indubbiamente favorì lo sviluppo delle tecniche matematiche. Gli italiani Bonaventura Cavalieri (1598-1647) e Evangelista Torricelli (1608-1647) inventarono il cosiddetto "metodo degli indivisibili" che lavorava sulle figure solide come composte da infiniti piani di spessore infinitesimo. Nonostante questo tipo di geometria fosse fondato su basi poco rigorose e soggetto perciò a molte critiche, usandolo si giunse ad importanti risultati come il teorema di Pappo Guldino e il principio di Cavalieri. Il metodo era in realtà una prima formulazione della geometria integrale ma ancora i concetti che stavano alla base dell'analisi non erano molto chiari. Un ulteriore sviluppo della geometria si ebbe nel 1637 quando Descartes (Cartesio) (1596-1650) pubblicò La Gèometrie nel quale illustrava i concetti fondamentali della geometria analitica, già scoperti in realtà da Fermat. Il principio della geometria analitica consisteva nel tracciare nel piano due assi perpendicolari detti appunto cartesiani (ascissa e ordinata) e di descrivere una curva come l'insieme di soluzioni di un'equazione a due incognite. La geometria si riduceva così allo studio di equazioni algebriche. Questa scoperta portò una rivoluzione concettuale enorme poiché da quel punto in poi linee, piani e curve furono visti in maniera algebrica, e non il contrario come si era fatto fino ad allora. Successivamente Gilles Roberval, Christian Huygens, John Wallis, Christopher Wren e Blaise Pascal (1623-1662) applicarono la geometria analitica per risolvere vari problemi riguardanti quadrature di archi e di aree sottese da varie curve. Pierre Fermat (1601-1665) e Cartesio si occuparono invece del problema delle tangenti (la determinazione della tangente in un dato punto di una curva) dando due interpretazioni diverse. Il metodo delle tangenti di Fermat è il più moderno dei due e anticipa il concetto di derivata anche se Fermat non riuscì a giustificare del tutto alcuni passaggi. Questo problema avrebbe portato alla nascita del calcolo differenziale. Pascal oltre che di geometria si occupò di combinatoria riuscendo a capire la correlazione di questa disciplina con il coefficiente binomiale. Utilizzò poi il Triangolo di Pascal anche se esso era già noto ad altri matematici come Tartaglia. Sviluppò queste idee in una corrispondenza con Fermat nella quale si ponevano anche le fondamenta del moderno calcolo delle probabilità. Fermat fu uno dei matematici più produttivi del secolo nonostante fosse un magistrato e si occupasse della materia da dilettante. Oltre ai già citati contributi alla geometria, Fermat diede un enorme contributo alla Teoria dei numeri: studiò l'equazione di Pell (chiamata anche equazione di Pell-Fermat); introdusse i numeri primi di Fermat; congetturò infine una quantità impressionante di teoremi come il piccolo teorema di Fermat e il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati. La maggior parte di questi teoremi fu dimostrata da Euler ma per la congettura più famosa del matematico francese, ossia l'ultimo teorema di Fermat, si dovette attendere addirittura fino al 1994.
Il campo di studio fondamentale del XVIII secolo fu l'analisi matematica. Proseguendo l'opera dei Bernoulli, Leonhard Euler(1707-1783) (chiamato anche Eulero) trovò la soluzione al problema di Basilea, introdusse la costante di Eulero-Mascheroni e le funzioni gamma e beta. Trovò poi molti metodi per la soluzione delle equazioni differenziali usati anche oggi e insieme all'amico Jean d'Alembert (1717-1783) affrontò molti problemi di meccanica razionale come la determinazione esatta del moto della Luna. Insieme a d'Alembert e a Daniel Bernoulli (figlio di Jakob) studiò poi il moto dei fluidi. D'Alembert riuscì invece a risolvere l'equazione differenziale nota come equazione di d'Alembert-Lagrange. Studiò poi vari problemi di teoria dei giochi e il calcolo delle probabilità. Si occupò anche di algebra cercando a più riprese di dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra. Nonostante queste dimostrazioni fossero in parte lacunose e il teorema sarebbe stato dimostrato rigorosamente solo da Gauss, il teorema è spesso chiamato teorema di d'Alembert. Eulero fu uno dei più grandi matematici di tutti i tempi.[64] Produsse più di 886 pubblicazioni su ogni branca della matematica nonostante nell'ultima parte della sua vita fosse divenuto cieco. Diede importanti contributi alla notazione matematica introducendo i simboli oggi accettati per le funzioni trigonometriche, la sommatoria, la funzione generica e per i numeri e ed i. Fu anche un importante teorico dei numeri, materia che ebbe un notevole sviluppo in questo secolo. Scoprì il prodotto di Eulero, grazie al quale fornì una dimostrazione dell'infinità dei numeri primi, dando così di fatto inizio alla teoria analitica dei numeri che usa procedimenti analitici per raggiungere risultati aritmetici. Dimostrò poi molti dei teoremi lasciati indimostrati da Fermat e introdusse la funzione phi di Eulero. Christian Goldbach enunciò la sua famosa congettura tutt'oggi irrisolta che afferma che ogni numero pari eccetto 2 è esprimibile come somma di due numeri primi. In questo periodo i numeri immaginari e quelli complessi furono accettati completamente. L'analisi complessa divenne una branca importante della matematica: Eulero studiò le serie di Taylor trovando le espansioni in serie di molte funzioni. Grazie a ciò riuscì a scoprire le estensioni di moltissime funzioni reali in campo complesso, come per esempio le funzioni trigonometriche, la funzione logaritmica e la funzione esponenziale. Grazie a quest'ultima estensione trovò l'identità di Eulero: considerata da molti la più bella formula della matematica. Altri contributi alla materia giunsero da Abraham de Moivre. In questo secolo si assistette anche alla nascita della topologia e della teoria dei grafi soprattutto per via delle scoperte di Eulero. Egli infatti risolse il problema dei ponti di Königsberg che chiedeva se fosse possibile attraversare tutti i ponti della città di Königsberg (Kaliningrad) una sola volta e tornare al punto di partenza. Eulero scoprì che ciò non era possibile e il ragionamento che usò sta alla base della moderna teoria dei grafi. Il matematico svizzero scoprì poi anche la formula che mette in relazione il numero dei vertici delle facce e degli spigoli di un poliedro convesso. Queste scoperte possono essere considerate come l'inizio della moderna topologia. Lorenzo Mascheroni dimostrò che se una retta si considera nota quando sono stati individuati due suoi punti allora tutte le figure costruibili con riga e compasso sono costruibili col solo compasso. Vi furono anche diversi tentativi di dimostrare il quinto postulato di Euclide partendo dagli altri quattro. Tra questi si ricordano quello di Girolamo Saccheri, Vitale Giordano, e Jean-Henri Lambert. Quest'ultimo si avvicinò molto alla geometria non euclidea. Lambert è ricordato anche per aver dimostrato che π è irrazionale. Ci furono sviluppi anche nel campo del calcolo delle probabilità: Thomas Bayes dimostrò il teorema che porta il suo nome e Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon diede inizio al metodo Monte Carlo con il famoso problema dell'ago di Buffon. Nella seconda metà del secolo Parigi divenne il più importante centro matematico e scientifico del tempo. Questo avvenne grazie alla presenza di matematici come Pierre Simon Laplace (1749-1827) e Joseph-Louis Lagrange (1736-1837) e all'istituzione di scuole di carattere scientifico come l'École polytechnique e l'École normale supérieure che fornirono validi matematici alla Francia. Laplace e Lagrange si occuparono di meccanica celeste. Dopo il lavoro di Newton essa divenne uno degli argomenti più trattati del secolo. Laplace nella sua Mécanique Céleste dimostrò che il sistema solare sarebbe rimasto stabile per un lungo intervallo di tempo. Introdusse le armoniche sferiche la trasformata di Laplace e il Laplaciano. Fu uno dei primi a utilizzare il concetto di potenziale dimostrando che esso soddisfa sempre l'equazione di Laplace. Si occupò anche di teoria della probabilità e statistica riscoprendo il teorema di Bayes e fornendo una dimostrazione rigorosa del metodo dei minimi quadrati. Lagrange invece nella sua Mécanique analytique introdusse il concetto di funzione lagrangiana. Insieme ad Eulero fu tra i creatori del calcolo delle variazioni ricavando le equazioni di Eulero-Lagrange. Studiò inoltre il problema dei tre corpi trovando i punti di Lagrange. Scoprì il metodo dei moltiplicatori di Lagrange per la risoluzione delle equazioni differenziali. Introdusse la notazione usata ancora oggi per il calcolo differenziale e trovò un metodo per la soluzione delle equazioni di qualunque grado che però si rivela utile solo fino al quarto. Dimostrò poi il teorema di Lagrange e contribuì molto anche alla teoria dei numeri dimostrando ad esempio il teorema dei quattro quadrati. Studiò anche la geometria analitica solida ottenendo discreti risultati. Un altro importante matematico del periodo fu Adrien-Marie Legendre (1752-1833) che studiò gli integrali ellittici introducendo quelli della prima e della seconda specie. Congetturò il metodo dei minimi quadrati indipendentemente da Gauss. Fu anche un brillante teorico dei numeri: dimostrò l'ultimo teorema di Fermat per il caso n=5, dimostrò l'irrazionalità di π e scoprì la legge di reciprocità quadratica esponendola nella sua forma attuale. Sempre indipendentemente da Gauss congetturò il Teorema dei numeri primi. Gaspard Monge dette invece contributi fondamentali alla geometria descrittiva. Nel 1742 Johann Christoph Heilbronner pubblica la Historia matheseos, la prima opera a trattare esplicitamente di storia della matematica.
Questo secolo è spesso chiamato L'età dell'oro della matematica. Durante il XIX secolo nacquero i primi periodici matematici come il Journal di Crelle e il Journal di Liouville. I matematici iniziarono a riunirsi nelle facoltà universitarie. Nacquero le prime società matematiche, come la London Mathematical Society. Fu confermato il primato di Parigi grazie a una geniale generazione di matematici, ma nella seconda parte del secolo il centro più importante per gli studi matematici divenne Gottingadove risiedevano matematici come Gauss, Riemann e Dirichlet. Algebra L'algebra ricevette nei primi anni del XIX secolo un grande impulso: Carl Friedrich Gauss (1777-1855) fu il primo a dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra nel 1799. Nella sua dimostrazione introdusse il piano complesso che avrebbe avuto un'importanza fondamentale nello sviluppo dell'analisi complessa. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) e Carl Jacobi (1804-1851) chiarirono il concetto di determinante di una matrice e dimostrarono importanti teoremi di algebra lineare. Jacobi introdusse poi il concetto di matrice jacobiana. Évariste Galois (1811-1832) e Niels Abel (1802-1829), entrambi morti giovanissimi, studiarono la risolubilità delle equazioni di grado superiore al quarto. Abel dimostrò il teorema di Abel-Ruffini che stabilisce l'impossibilità di risolvere per radicali le equazioni di quinto grado. Galois invece stabilì la non risolubilità per radicali delle equazioni di grado superiore al quinto e il suo lavoro è all'origine della teoria di Galois, importante branca dell'algebra astratta. Analisi L'analisi matematica fu invece posta su basi sempre più ben definite. Cauchy definì rigorosamente il concetto di derivata come limite del rapporto incrementale tra la funzione e la variabile e quello di funzione continua. Chiarì anche il concetto di limite anche se Karl Weierstrass formalizzò meglio la sua definizione. Bernhard Riemann chiarì invece il concetto di integrale (integrale di Riemann). Bernhard Bolzano aveva sviluppato molte di queste definizioni precedentemente, ma la sua opera restò sconosciuta per decenni. Grazie a questi passi avanti, Cauchy riuscì a estendere i concetti del calcolo infinitesimale alle funzioni a variabile complessa scoprendo il teorema integrale e la formula integrale di Cauchy. Scoprì anche il criterio di convergenza di Cauchy. Oltre ai già menzionati contributi all'algebra lineare Cauchy si occupò anche di statistica(variabile casuale di Cauchy), meccanica e soprattutto teoria dei numeri. Arrivò vicino a dimostrare l'ultimo teorema di Fermat. Partendo da un precedente lavoro di Abel, Jacobi diede importanti contributi alla comprensione degli integrali ellittici scoprendo la doppia periodicità di alcuni di essi e introducendo le funzioni ellittiche jacobiane. Joseph Fourier invece studiò il movimento ondulatorio e il calore. Introdusse poi le serie di Fourier e la trasformata di Fourier. Teoria dei Numeri Carl Gauss fu senza dubbio uno dei matematici più importanti del secolo e di tutti i tempi. Visse buona parte della sua vita a Gottinga che divenne ben presto uno dei centri più importanti della matematica europea. Ricercò in quasi tutte le branche della matematica. Dopo aver dimostrato il teorema fondamentale dell'algebra, si occupò soprattutto di teoria dei numeri pubblicando nel 1801 le Disquisitiones Aritmeticae. La teoria dei numeri vide in questo secolo l'introduzione di nuovi concetti sempre più legati ai metodi analitici. Nelle Disquisitiones Gauss introduceva l'aritmetica modulare, che avrebbe facilitato moltissimo la scrittura e la comprensione di teoremi relativi a questo campo d'indagine. Sempre in questo volume introduceva il concetto di intero gaussiano. Congetturò poi indipendentemente da Legendre il metodo dei minimi quadrati e il teorema dei numeri primi, che mette in relazione la distribuzione di questi con la funzione logaritmica. Il teorema sarà dimostrato solo nel 1894 da Jacques Hadamard e Charles de La Vallée-Poussin. Gauss fu anche un grande statistico; la variabile casuale normale che descrive la distribuzione degli errori è dovuta a lui. Alla morte di Gauss, Peter Gustav Dirichlet (1805-1859) gli successe nel suo posto di insegnante. Egli dimostrò il teorema secondo il quale in tutte le progressioni aritmetiche si trovano infiniti numeri primi, (teorema di Dirichlet) usando complessi metodi analitici. Introdusse anche la convoluzione di Dirichlet. Il lavoro più importante nella teoria dei numeri fu però quello di Bernhard Riemann (1826-1866), il successore di Dirichlet a Gottinga che in un articolo del 1859introdusse formalmente la funzione zeta di Riemann. Egli capì il collegamento di questa con la distribuzione dei numeri primi e studiando i valori complessi della funzione zeta congetturò che tutti i suoi zeri complessi avessero parte reale un mezzo. Questa congettura nota come ipotesi di Riemann non è ancora stata risolta; se lo fosse, potrebbero essere dimostrati moltissimi teoremi, tra cui una formula che approssima la distribuzione dei numeri primi nella maniera migliore possibile. Joseph Liouville dimostrò nel 1844 l'esistenza di numeri trascendenti costruendo appositamente alcuni esempi come la costante di Liouville. Successivamente Charles Hermite dimostrò la trascendenza di e e Ferdinand von Lindemann quella di π. Grazie a queste ed altre scoperte si dimostrò la non risolubilità con riga e compasso dei tre problemi classici dell'antica Grecia. Geometria Nel XIX secolo la geometria, dopo un secolo in cui non aveva fatto praticamente progressi, ritornò ad essere una materia importante di studio. Gauss trovò le condizioni per cui un poligono regolare poteva essere costruito usando solo riga e compasso, risolvendo un problema che restava aperto da millenni. Sempre Gauss diede inizio ad una nuova branca della geometria, la geometria differenziale, introducendo il concetto di curvatura di una superficie. Jakob Steiner (1796-1863) dimostrò che tutte le figure costruibili usando riga e compasso possono essere costruite usando solo la riga e una circonferenza iniziale. Abbozzò poi la prima dimostrazione del problema isoperimetrico che sarebbe stata completata da altri. Julius Plücker introdusse il metodo delle notazioni geometriche abbreviate e dimostrò il principio di dualità. Studiò la possibilità di una geometria a quattro o più dimensioni spaziali. Insieme ad August Ferdinand Möbius introdusse le coordinate omogenee. Möbius introdusse poi la funzione di Möbius e studiò la topologia (nastro di Möbius). Ma l'innovazione più importante del secolo in geometria furono le geometrie non euclidee. Gauss, cercando di dimostrare il V postulato di Euclide, arrivò alla rivoluzionaria conclusione che potevano esistere geometrie indipendenti dal postulato e iniziò a studiare la geometria iperbolica. Janos Bolyai arrivò alla stessa conclusione. Tuttavia il vero sviluppatore della geometria iperbolica fu il russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856). In questa geometria per un punto passano infinite rette che non incontrano una retta data, e la somma degli angoli di un triangolo è sempre inferiore a 180º. Il già menzionato Riemann diede un contributo fondamentale allo studio delle geometrie non euclidee definendo il concetto di linea retta come di geodetica di uno spazio. Studiò poi la geometria costruita sulla superficie di una sfera; la geometria ellitticao riemanniana. In questa geometria non esistono rette parallele, in quanto una retta è un cerchio massimo, e la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre superiore a 180º. Riemann si occupò anche di topologia introducendo le superfici di Riemann. Anticipò il concetto di metrica e di tensore. Einstein usò i suoi risultati per descrivere lo spazio della relatività generale. Il concetto rivoluzionario che stava alla base di queste geometrie faticò molto ad essere accettato. Henri Poincaré (1854-1912), Felix Klein(1849-1925) e Eugenio Beltrami dimostrarono la coerenza e l'indipendenza dal V postulato di queste geometrie, sancendo così la loro accettazione. Inoltre scoprirono il disco di Poincaré e la pseudosfera, due modelli fisici di geometria iperbolica. Poincaré fu anche l'inventore di quella importante branca della topologia nota come topologia algebrica. È perciò spesso considerato come il padre della topologia moderna. Si occupò di quasi tutte le branche della matematica dell'epoca apportando numerosi sviluppi. Scoprì le funzioni fuchsiane. Formulò poi la famosa congettura di Poincaré e introdusse l'attrattore strano ponendosi così tra i precursori della teoria del caos. Si occupò anche di meccanica. Felix Klein invece introdusse il concetto algebrico di gruppo in geometria ottenendo definizioni molto generali. Scoprì anche la famosa superficie topologica nota come bottiglia di Klein. Algebra astratta Verso la meta del XIX secolo nacque l'algebra astratta[65]. Galois fu precursore in questo campo introducendo i concetti di gruppo e di permutazione. La teoria dei gruppi anticipata già da lavori di Lagrange e Cauchy ma soprattutto di Abel (gruppo abeliano). Galois fu il primo a collegarla con la teoria dei campi nei suoi lavori sulla risolubilità delle equazioni. Questi lavori vennero poi formalizzati e sviluppati da Leopold Kronecker. Le nuove teorie algebriche ricevettero attenzione in Inghilterra dove da più di un secolo la matematica era caduta in una fase di torpore. L'irlandese William Rowan Hamilton (1805-1865), volendo estendere alla terza dimensione il piano di Gauss, introdusse i quaternioni, creando così un'algebra del tutto nuova dove non valevano tutte le regole di quella ordinaria, venendo a mancare la proprietà commutativa della moltiplicazione. Hamilton arrivò anche a riformulare in maniera astratta la meccanica lagrangiana (meccanica hamiltoniana) e dimostrò il teorema di Cayley-Hamilton. Arthur Cayley studiò invece l'algebra delle matrici definendo i concetti di moltiplicazione e somma su questi enti. Studiò l'algebra degli ottetti chiamata spesso anche algebra di Cayley. George Boole (1815-1864), infine, definì le operazioni algebriche per gli insiemi, dando inizio così alla cosiddetta algebra di Boole. Questa teoria avrebbe avuto un'importanza fondamentale nello sviluppo della logica matematica, di cui Boole può benissimo essere considerato il padre, e della teoria dell'informazione. Logica, Teoria degli insiemi Nella seconda metà del secolo si incominciò a studiare il concetto di numero, cercando di definirlo logicamente. Weiestrass e Richard Dedekind definirono il concetto di numero reale partendo da quello di numero naturale e di numero razionale. Il logico Gottlob Frege (1848-1925) cercò di definire il concetto di numero naturale su basi logiche, riconducendo così l'intera matematica alla logica. Tuttavia la sua definizione che si basava sul concetto di cardinalità di un insieme fu messa in crisi all'inizio del secolo successivo. Giuseppe Peano (1858-1932) tentò invece di basare la matematica in modo assiomatico. Introdusse quindi cinque assiomi che descrivevano il concetto di numero naturale spesso chiamati assiomi di Peano. Anche questo tentativo era però destinato a fallire. Dedekind definì per primo l'infinità di un insieme come il fatto che un suo sottoinsieme potesse essere messo in corrispondenza biunivoca con esso. Partendo da questo lavoro Georg Cantor (1845-1918) iniziò a studiare gli insiemi infiniti, scoprendo che i numeri interi sono tanti quanti i numeri razionali (ossia i due insiemi hanno la stessa potenza) ma che l'insieme infinito dei numeri reali è più grande di quello dei razionali. Congetturò poi che non vi fossero altre potenzialità di infinito tra questi due insiemi. La congettura è chiamata ipotesi del continuo. Queste scoperte paradossali generarono scetticismo nella comunità dei matematici ma le idee di Cantor sono alla base della moderna teoria degli insiemi
Diversamente dalla scarsità di fonti che ci sono rimaste riguardo alla matematica egizia, la nostra conoscenza della matematica babilonese deriva dal ritrovamento, risalente alla metà del XIX secolo, di più di 400 tavolette di argilla scritte in carattere cuneiforme. La maggior parte è datata dal 1800 al 1600 a.C. e tratta argomenti che includono frazioni, algebra, equazioni di secondo grado ed il calcolo di terne pitagoriche. Le tavolette includono inoltre tavole di moltiplicazione, tavole trigonometriche e metodi risolutivi per equazioni lineari e quadratiche. La tavoletta "YBC 7289" fornisce un'approssimazione di radice di 2 accurata alla quinta cifra decimale. Una delle più importanti è certamente Plimpton 322 dove vengono elencate su tre colonne molte terne pitagoriche dimostrando così una probabile conoscenza del Teorema di Pitagora. L'algebra babilonese fu probabilmente la più avanzata dell'intero bacino mediterraneo per secoli. I babilonesi sapevano infatti risolvere le equazioni di secondo grado con formule analoghe a quelle usato oggi (si veda approfondimento). Inoltre, anche se i problemi erano basati sulla geometria, si trattava di manipolazioni molto astratte che dimostrano un elevato grado di versatilità. La matematica babilonese faceva uso di un sistema di numerazione posizionale sessagesimale (cioè a base 60). Lo sviluppo della matematica babilonese probabilmente fu favorito da questo particolare sistema di numerazione, possedendo il numero 60 numerosi divisori. L'uso di un sistema posizionale per rappresentare i numeri (come quello arabico in uso in tutto il mondo oggi) differenzia i Babilonesi da Egiziani, Greci e Romani: nella rappresentazione babilonese le cifre scritte nella colonna sinistra rappresentano valori più grandi. Tuttavia in un primo tempo i Babilonesi non usavano la cifra zero. Questo faceva sì che spesso il valore posizionale di una cifra dovesse essere dedotto dal contesto. Successivamente fu introdotta una cifra che faceva da zero ma sembra che i Babilonesi non la usassero nella posizione delle unità (i numeri 22 e 220 erano, per esempio, indistinguibili).
Prima del ventesimo secolo, il numero di matematici creativi attivi contemporaneamente nel mondo era inferiore al centinaio[senza fonte]. I matematici erano di norma benestanti o supportati da ricchi possidenti. Vi erano pochi impieghi possibili, quali insegnare nelle università o nelle scuole superiori. La professione del matematico divenne realtà solo nel ventesimo secolo. I matematici iniziarono a lavorare in gruppo. Il centro dell'attività matematica nella prima metà del secolo fu Gottinga per poi divenire negli anni cinquanta Princeton. Furono istituiti vari premi matematici, a partire dalla medaglia Fields (1936) e il premio Wolf per la matematica (1978), mentre manca il premio Nobel per la matematica. In questo secolo si vide una moltiplicazione di teoremi e scoperte matematiche. Per stabilire delle linee guida, David Hilbert (1862-1947) in un congresso del 1900 enunciò 23 problemi che avrebbero dovuto fare da guida nella matematica novecentesca. Molti di questi problemi sono stati risolti, positivamente o negativamente, ma restano aperti l'ottavo e il dodicesimo. Hilbert fu un matematico di prim'ordine. Dimostrò il teorema di finitezza e studiò le equazioni integrali introducendo gli spazi di Hilbert. La sua opera più importante fu comunque un'assiomatizzazione completa e rigorosa della geometria ottenuta nel suo Grundlagen der Geometrie. Nel 1901 invece Bertrand Russell (1872-1970) espose, in una lettera a Frege, il cosiddetto paradosso di Russell che metteva in discussione la sua formulazione della teoria degli insiemi e dunque della matematica. Questa scoperta portò Ernst Zermelo e Adolf Fraenkel a riformulare la teoria su base assiomatiche: il cosiddetto sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel. Solitamente a questi viene aggiunto anche l'assioma della scelta senza il quale non si possono dimostrare alcuni importanti teoremi (il sistema risultante è solitamente chiamato ZFC). L'indipendenza di questo assioma dal sistema di Zermelo-Fraenkel è stata provata da Paul Cohen nel 1963. Anche Russell cercò parallelamente di rifondare la matematica su degli assiomi. Insieme a Alfred North Whitehead scrisse il monumentale Principia Mathematica. Il "fallimento" di queste impostazioni assiomatiche (inclusa quella tentata da Giuseppe Peano) fu decretato nel 1931 da Kurt Gödel (1906-1978) con il suo famoso teorema di incompletezza, secondo il quale in ogni sistema assiomatico coerente esistono proposizioni indecidibili (che non possono essere né dimostrate né confutate). Lo sgomento causato dal teorema aumentò quando Gödel e Cohen dimostrarono che l'ipotesi del continuo è indipendente dal sistema di assiomi di Zermelo-Fraenkel. n analisi Henri Lebesgue riformulò nel 1902 il concetto di integrale introducendo la misura di Lebesgue (integrale di Lebesgue). Ciò comporta un ampliamento della classe delle funzioni integrabili rispetto alla definizione data da Riemann. Furono poi introdotte funzioni improprie come la funzione gradino di Heaviside e la funzione delta di Dirac. Tramite il concetto di distribuzione Laurent Schwartz estese il concetto di derivata alle funzioni integrabili secondo Lebesgue. Abraham Robinson definì i numeri iperreali, estensione di quelli reali con cui diede vita alla cosiddetta Analisi non standard che recupera, definendoli in modo rigoroso, molti dei concetti intuitivi usati da Leibniz come quello di infinitesimo. Successivamente furono introdotti i numeri surreali. Anche la teoria dei numeri ricevette un grande impulso. Srinivasa Ramanujan (1887-1920) dimostrò molti importanti teoremi e formule. Tra queste molte che consentono di calcolare pi e la funzione di partizione. Introdusse la funzione mock theta. Aleksander Gelfond dimostrò il teorema di Gelfond, risolvendo parzialmente la congettura sui numeri trascendenti contenuta nel settimo problema di Hilbert. Atle Selberg (1917-2007) e Paul Erdős (1913-1996) dettero nel 1949 una dimostrazione elementare del teorema dei numeri primi. Erdös fu un matematico molto prolifico. Operò soprattutto in teoria dei numeri, calcolo combinatorio e teoria dei grafi ottenendo risultati importanti. In suo onore i matematici hanno definito il numero di Erdős. Nel 1994, dopo anni di lavoro, Andrew Wiles dimostrò l'Ultimo teorema di Fermat. la sua dimostrazione usa molte tecniche di algebra moderna. Alcuni di questi strumenti erano stati oggetto di lavoro di André Weil, un matematico che si era interessato di equazioni diofantine, curve ellittiche e gruppi di Lie.
La matematica ai tempi degli Egizi, la nascita della matematica e i primi reperti storici. Storia della matematica, il papiro di Rhind e i problemi matematici. Il sistema di numerazione egizio e le operazioni coi numeri nell'antico Egitto. La matematica nella storia dell'umanità ha avuto un ruolo fondamentale per tutte le civiltà che hanno abitato il nostro pianeta fin dai tempi più remoti. Tuttavia le prime testimonianze di una matematica avanzata ci arrivano dall'antico Egitto. Proprio qui tra faraoni e piramidi si sviluppa la scrittura sotto forma di geroglifici per testi e cifre. Senza dubbio la civiltà egizia rimane affascinate per numerosi aspetti tra i quali troviamo appunto i numeri e la comparsa dei primi problemi legati alla matematica. A portare alla nostra conoscenza questi problemi sono due antichi manoscritti, ovviamente su papiro, risalenti ad un periodo che va dal 2000 al 1800 avanti Cristo. Il Papiro di Rhind e il Papiro di Mosca sono quindi i due manoscritti più antichi a noi pervenuti nei quali la matematica trova riscontro. Il primo, ovvero il Papiro di Rhind, contiene 87 problemi derivati dalla quotidianità ai tempi degli Egizi. Tutt'oggi è conservato al British Museum e rappresenta una fonte di inestimabile valore. Il papiro fu acquistato nel 1858 in una cittadina sul Nilo da un antiquario scozzese, Henry Rhind, dal quale deriva il nome. Il secondo, ovvero il Papiro di Mosca fu acquistato in Egitto nel 1893 e risale al 1890 a.C. circa. Il manoscritto contiene ben 25 esempi tratti dalla vita di tutti i giorni (ovviamente ai tempi degli Egizi) nei quali figurano problemi di natura matematica. La difficoltà di conservazione dei reperti storici come i papiri ha fatto si che solamente alcuni di essi giungessero fino ai giorni nostri, per tanto questi rimangono i più antichi problemi matematici che conosciamo. Gli Egizi si avvicinarono alla matematica e alla geometria per soddisfare esigenze quotidiane come delineare i confini delle proprie terre e tenere sotto controllo tasse e pagamenti. Nel periodo del "Medio Regno" nacquero così delle vere e proprie scuole per scribi, con l'intento di formare e istruire delle figure specializzate nei calcoli e nella scrittura. Insieme alle scuole per scribi gli Egizi introdussero anche l'uso delle frazioni che caratterizzano la matematica egiziana e sono utilizzate ancora oggi. La matematica in Egitto non si limitava però soltanto ad aspetti pratici e quotidiani come calcoli e operazioni, bensì veniva spesso associata a qualcosa di divino, uno strumento a disposizione dell'uomo per entrare in contatto con la natura. A tal proposito il Papiro di Rhind citava la seguente frase in apertura: «Metodo corretto di entrare nella natura, conoscere tutto ciò che esiste, ogni mistero, ogni segreto». IL SISTEMA DI NUMERAZIONE EGIZIO: Gli antichi egizi utilizzavano un sistema decimale per la scrittura dei numeri, una numerazione geroglifica nella quale è presente una base dieci e dove i numeri venivano affiancati utilizzano rispettivamente i simboli di unità, decine e centinaia. Il sistema di numerazione egizio non è un sistema posizionale, cioè ogni simbolo ha un suo significato (in questo caso valore) e quindi non ha importanza la posizione che occupa. Ovviamente per comodità si tendeva ad accostare i simboli uguali tra loro. LE OPERAZIONI CON IL SISTEMA EGIZIO: Gli antichi Egizi utilizzavano le operazioni proprio come facciamo noi al giorno d'oggi per la soluzione di problemi e per tenere conti e registri sempre aggiornati. Già ai tempi infatti erano presenti le quattro operazioni principali: l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione. In particolar modo l'addizione e la moltiplicazione erano pressoché identiche a come le conosciamo, mentre le altre due operazioni si sviluppavano in maniera diversa. Più precisamente sia la moltiplicazione che la divisione si basavano sulla scomposizione dei fattori in base due. Con l'avvento del Nuovo Regno la matematica Egizia si fuse con quella Greca e in entrambe le culture ci furono dei notevoli benefici i quali contribuirono a creare la disciplina matematica per come la conosciamo oggi.
Prima che apparissero i primi documenti scritti si trovano disegni che testimoniano conoscenze della matematica e della misurazione del tempo basata sull'osservazione delle stelle. Altri artefatti preistorici scoperti in Africa e Francia, datati tra il 35.000 a.C. e il 20.000 a.C., indicano i primi tentativi di quantificazione del tempo. Si suppone che i primi conteggi coinvolgessero donne che registravano i loro cicli mensili o le fasi lunari. Parallelamente si andò sviluppando il concetto di numero: è probabile che le prime considerazioni riguardassero i branchi di animali e la distinzione tra i concetti di "uno" "due" e "molto", come ancor oggi fanno gli zulu, i pigmei africani, i nativi delle Isole Murray, i kamilarai australiani, e i botocudos brasiliani. Altre popolazioni sono in grado di aumentare la capacità di conteggio visivo ricorrendo all'uso, secondo un preciso ordine, di parti del proprio corpo, arrivando in tal modo a contare fino a 17, 33, 41 in funzione dei riferimenti corporali utilizzati. Sul piano fisiologico sembrerebbe che la capacità di percepire visivamente, senza dover contare, il numero di elementi si fermi a quattro. È significativo al riguardo che in taluni linguaggi vi sia la declinazione delle forme al singolare, duale, triale, quattriale e plurale; anche in latino solo i primi quattro numeri (unus, duo, tres, quatuor) sono declinabili. Alcuni esperimenti effettuati sulle cornacchie indicano la capacità di distinguere fino a quattro elementi di un insieme. Successivamente tali concetti si palesarono con tacche e incisioni. Si andavano sviluppando anche le prime, semplici nozioni geometriche. I paleontologi hanno scoperto rocce di ocra in una caverna del Sudafrica adornate di configurazioni geometriche che risalgono al 70.000 a.C. L'osso d'Ishango, ritrovato nell'area delle sorgenti del Nilo (nord est del Congo), presenta delle incisioni che potrebbero indicare una primitiva conoscenza della sequenza dei numeri primi. Monumenti megalitici che in Egitto risalgono fino al V millennio a.C. e in Inghilterra e Scozia a partire dal III millennio a.C., con il loro disegno concretizzano idee geometriche come quelle di cerchio, ellisse e terna pitagorica e una possibile comprensione della misurazione del tempo basata sui movimenti delle stelle. Intorno al 2600 a.C. le tecniche per le grandi costruzioni mostrano la padronanza della geodesia di precisione. Le prime nozioni matematiche che ci sono giunte dall'antica India risalgono al periodo 3000 a.C. - 2600 a.C., prevalentemente nell'India settentrionale e nel Pakistan. Furono sviluppati un sistema di pesi e misure uniformi il quale si serviva di frazioni decimali, una tecnologia dei mattoni sorprendentemente avanzata che utilizzava i rapporti di strade disposte secondo perfetti angoli retti e di un'enorme varietà di forme e figure geometriche (parallelepipedo rettangolo, botte, cono, cilindro e figure di cerchi e triangoli concentrici ed intersecati). Tra gli strumenti matematici scoperti vi sono un'accurata riga con suddivisioni decimali precise e ravvicinate, uno strumento a conchiglia che serviva da compasso per misurare angoli sulle superfici piane secondo multipli di 40 – 360 gradi e uno strumento per la misura delle posizioni delle stelle per la navigazione. La scrittura dell'Indo non è ancora stata decifrata; quindi si conosce ben poco delle forme scritte della Matematica indiana. L'evidenza archeologica ha condotto alcuni storici a credere che questa civiltà usasse un sistema di numerazione in base 8 e possedesse la nozione del rapporto fra lunghezza della circonferenza di un cerchio e del suo diametro, cioè un valore di π.
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