La matematica ha segnato il corso de progresso umano.;xNLx;;xNLx;Senza il calcolo non potremmo costruire le infrastrutture moderne e senza la teoria dei numeri non avremmo i computer.;xNLx;;xNLx;Oltre che imprescindibile, la matematica è anche bella ed elegante.;xNLx;;xNLx;Una timeline unica, per conoscere le menti geniali di matematici che hanno contribuito all’evoluzione della matematica, e che sono vissuti in epoche diverse come l’antica Grecia, la Francia rivoluzionaria o la Germania nazista.
Il primo fisico pluralista fu Empedocle da Agrigento. Visse nel V secolo avanti Cristo negli scenari siculi dell'Agrigento colonia. della magna Grecia (elemento in correlazione alla nascita della filosofia). Agrigento era una colonia importante della Magna Grecia, una delle più potenti e famose all'epoca dove oltre che la potenza economica e militare era protagonista anche la potenza culturale del luogo, principio indispensabile per la nascita di pensieri complessi come quelli filosofici. Empedocle apparteneva ad una famiglia aristocratica che appoggiava il regime democratico che era stato instaurato ad Agrigento dopo la caduta della tirannia: come suo padre Metone aveva partecipato alla lotta contro la tirannia, così Empedocle detto Il Grande aveva partecipato al rovesciamento del regime oligarchico che si era formato all'indomani della tirannia. Partecipò attivamente alla vita politica della sua città, continuando a credere fermamente nel regime democratico che aveva contribuito a formarsi. Non era solamente un filosofo, ma si occupava anche di matematica, di politica, di morale ed era un saggio a tutto tondo agli occhi dei suoi concittadini, un uomo dotto di cui avere il più che immenso rispetto. Era molto rigoroso e così ebbe grossi problemi con i regimi politici successivi e si dice che fu obbligato all’esilio. Una leggenda vuole che si sia suicidato buttandosi nell’Etna. Disgustato dall’opposizione che trovava in città e dalla corruzione dei suoi abitanti decise di buttarsi nell’Etna facendo credere a tutti che in realtà fosse salito al cielo. Si dice inoltre che fosse un mago capace di controllare le tempeste e sconfiggere il male : di questo parla apertamente in una delle sue più famose opere, le Purificazioni. Scrisse inoltre diverse opere sia di argomento filosofico che religioso, la più famosa delle quali è Sulla Natura, l'opera in cui espone il suo pensiero filosofico in maniera completa e matura.
Panini nacque a Shalatula, una città vicino ad Attock sul fiume Indo, nell'attuale Pakistan. Le date date per Panini sono pure supposizioni. Gli esperti danno date nel 4 ° , 5 ° , 6 ° e 7 ° secolo aC e non vi è alcun accordo tra gli storici sulla portata del lavoro che ha intrapreso. Ciò che è in dubbio è che, dato il periodo in cui ha lavorato, è una delle persone più innovative nell'intero sviluppo della conoscenza. Diremo un po 'più in basso di come gli storici hanno cercato di individuare la data in cui Panini visse. Panini era un grammatico sanscrito che diede una teoria completa e scientifica di fonetica, fonologia e morfologia. Il sanscrito era la lingua letteraria classica degli indù indiani e Panini è considerato il fondatore della lingua e della letteratura. È interessante notare che la parola "Sanscrito" significa "completo" o "perfetto" ed è stata pensata come la lingua divina, o lingua degli dei. Un trattato chiamato Astadhyayi (o Astaka ) è il lavoro principale di Panini. Consiste di otto capitoli, ciascuno suddiviso in capitoli di un quarto. In questo lavoro Panini distingue tra il linguaggio dei testi sacri e il linguaggio usuale della comunicazione. Panini fornisce regole di produzione e definizioni formali per descrivere la grammatica sanscrita. A partire da circa 1700 elementi di base come nomi, verbi, vocali, consonanti li ha messi in classe. La costruzione di frasi, nomi composti ecc. È spiegata come regole ordinate che operano su strutture sottostanti in modo simile alla teoria moderna. In molti modi le costruzioni di Panini sono simili al modo in cui una funzione matematica viene definita oggi. Joseph scrive in [ 2 ]: - Il [ potenziale ] sanscrito per uso scientifico è stato notevolmente migliorato come risultato della completa sistematizzazione della sua grammatica da parte di Panini. ... Sulla base di poco meno di 4000 sutra [ regole espresse come aforismi ], costruì praticamente l'intera struttura della lingua sanscrita, la cui "forma" generale non cambiò per i prossimi duemila anni. ... Una conseguenza indiretta degli sforzi di Panini per aumentare la struttura linguistica del sanscrito divenne presto evidente nel carattere della letteratura scientifica e matematica. Ciò può essere messo in evidenza confrontando la grammatica del sanscrito con la geometria di Euclide - un paragone particolarmente appropriato in quanto, mentre la matematica è nata dalla filosofia nell'antica Grecia, era ... in parte un risultato degli sviluppi linguistici in India. Joseph prosegue argomentando in modo convincente sulla natura algebrica della matematica indiana derivante dalla struttura della lingua sanscrita. In particolare, suggerisce che il ragionamento algebrico, il modo indiano di rappresentare i numeri con le parole e, in definitiva, lo sviluppo dei moderni sistemi numerici in India, sono collegati attraverso la struttura del linguaggio. Panini dovrebbe essere considerato il precursore della moderna teoria del linguaggio formale usata per specificare i linguaggi del computer. La Backus Normal Form fu scoperta indipendentemente da John Backus nel 1959, ma la notazione di Panini è equivalente nel suo potere a quella di Backus e ha molte proprietà simili. È notevole pensare che i concetti che sono fondamentali per l'informatica teorica di oggi dovrebbero avere la loro origine con un genio indiano circa 2500 anni fa. All'inizio di questo articolo abbiamo menzionato che alcuni concetti erano stati attribuiti a Panini da alcuni storici che altri contestano. Una tale teoria fu avanzata da B Indraji nel 1876. Affermò che i numeri Brahmi si sviluppavano usando lettere o sillabe come numeri. Quindi ha dato il tocco finale alla teoria suggerendo che Panini nell'ottavo secolo aC (prima di quanto la maggior parte degli storici collocasse Panini) fu il primo a inventare l'uso delle lettere dell'alfabeto per rappresentare i numeri. Ci sono un certo numero di prove per supportare la teoria di Indraji secondo cui i numeri Brahmi si sviluppavano a partire da lettere o sillabe. Tuttavia non è del tutto convincente dal momento che, per citare un esempio, i simboli per 1, 2 e 3 chiaramente non provengono da lettere ma da una, due e tre linee rispettivamente. Anche se si accetta il collegamento tra i numeri e le lettere, fare in modo che Panini l'ideatore di questa idea sembrerebbe non avere più dietro di sé che sapere che Panini era uno dei geni più innovativi che il mondo abbia conosciuto, quindi non è irragionevole credere che avrebbe potuto fare anche questo passo. Ci sono altre opere strettamente associate agli Astadhyayi che alcuni storici attribuiscono a Panini, altre attribuite agli autori prima di Panini, altre attribuite agli autori dopo Panini. Questa è un'area in cui ci sono molte teorie ma pochi, se non nessuno, fatti concreti. Abbiamo anche promesso di tornare a una discussione sulle date di Panini. Non c'è stata mancanza di lavoro su questo argomento, quindi il fatto che ci siano teorie che si estendono su diverse centinaia di anni non è il risultato di mancanza di sforzo, piuttosto un'indicazione della difficoltà dell'argomento. Il modo abituale per datare tali testi sarebbe quello di esaminare a quali autori si fa riferimento e quali autori si riferiscono all'opera. Si può usare questa tecnica e vedere chi parla Panini. Ci sono dieci studiosi menzionati da Panini e dobbiamo assumere dal contesto che questi dieci hanno tutti contribuito allo studio della grammatica sanscrita. Questo di per sé, ovviamente, indica che Panini non era un genio solitario ma, come Newton , aveva "messo le mani sui giganti". Panini deve aver vissuto più tardi di questi dieci, ma questo non è assolutamente d'aiuto nel fornire date poiché non abbiamo assolutamente alcuna conoscenza di quando qualcuno di questi dieci viveva. Quali altre prove interne ci sono da usare? Bene, ovviamente, Panini usa molte frasi per illustrare la sua grammatica, se queste sono state esaminate meticolosamente per vedere se qualcosa è contenuto lì per indicare una data. Per dare un esempio di cosa intendiamo: se dovessimo raccogliere un testo che contenesse un esempio "prendo il treno per lavorare tutti i giorni", sapremmo che doveva essere stato scritto dopo che le ferrovie divennero comuni. Cerchiamo di illustrare con due esempi reali da Astadhyayiche sono stati oggetto di molti studi Il primo è un tentativo di vedere se ci sono prove di influenza greca. Sarebbe possibile trovare prove che significhino che il testo doveva essere stato scritto dopo le conquiste di Alessandro Magno? C'è una piccola prova di influenza greca, ma ci fu un'influenza greca su questa parte nord orientale del subcontinente indiano prima dell'epoca di Alessandro. Non è stato identificato nulla di conclusivo. Un altro angolo è esaminare un riferimento che Panini fa alle suore. Alcuni sostengono che queste devono essere monache buddiste e quindi il lavoro deve essere stato scritto dopo il Buddha. Una bella discussione, ma c'è una contro-argomentazione che dice che c'erano le monache Jaina prima del tempo del Buddha e il riferimento di Panini poteva essere ugualmente bene per loro. Ancora una volta le prove sono inconcludenti. Ci sono riferimenti di altri a Panini. Tuttavia sembrerebbe che il Panini a cui più si riferisce sia un poeta e sebbene alcuni sostengano che si tratti della stessa persona, la maggior parte degli storici concorda sul fatto che il linguista e il poeta siano due persone diverse. Ancora una volta questa è una prova inconcludente.
Anassagora nasce a Clazomene, città ionica sulle coste dell’Asia Minore, all’inizio del V sec. a.C. ed assorbe il background culturale dei naturalisti milesii del VII sec. e in particolare di Anassimene. La vicinanza di Clazomene con Mileto, probabile patria di Leucippo, e il fatto che essa sia la zona d’origine dei colonizzatori di Abdera, rende ragione dei parallelismi delle formulazioni fisico-cosmologiche dei due grandi filosofi della Ionia, che con le loro formulazioni ontologiche pluralistiche mettono in mora il monismo mistico di Parmenide. Anassagora emigrò ad Atene verso il 460 a.C. trovando nella città attica, governata da Pericle (di cui fu amico), l’ambiente intellettuale ideale per portarvi la filosofia ionica e aprire una scuola, contando trai suoi allievi Archelao ed Euripide. Ad Atene avrà modo di sviluppare le proprie riflessioni naturalistiche e giungere alla formulazione della teoria dei semi originari del mondo reale (che Aristotele chiamerà omeomerìe), di numero infinito e presenti in quantità e rapporti variabili in tutti i corpi reali. Quale generatore delle cose del mondo agendo sui semi Anassagora pose il nous, la forza “naturale” super-materiale che connette i semi in modo differente dando origine, a seconda della prevalenza di una certo tipo rispetto agli altri, alle cose del mondo che si offrono alla nostra percezione. Un’errata interpretazione idealistica ha visto il nous come un intelletto ordinatore di carattere divino, in realtà il nous non è altro che la “forza” che “produce la realtà a partire dai suoi elementi originari. Le ricerche di Anassagora sono state di carattere eminentemente naturalistico e concernenti sia l’astronomia che la biologia. Scrisse un trattato Sulla natura di cui ci sono pervenuti diversi frammenti. A causa di alcune sue concezioni astronomiche contrarie alla religione subì un processo per empietà nel 432 a.C. che lo costrinse a lasciare Atene. Fuggì, tornando in Asia Minore, e prese dimora a Lampsaco, dove morì nel 428 a.C. * * * Visse trent'anni ad Atene introducendovi la filosofia sviluppatasi nelle colonie ioniche e della Magna Grecia. A motivo del suo ateismo fu processato dagli aristocratici, ma dalla pena di morte si poté salvare grazie alla protezione dello statista Pericle, il quale comunque lo mandò in esilio. Suo discepolo fu Euripide e influì sicuramente su Aristotele, a motivo del suo materialismo fisico. Per Anassagora gli elementi primari sono infiniti. Li chiama "semi" (spérmata): particelle invisibili di materia, ognuna di qualità specifica, che si combinano tra loro, generando tutte le cose, nel senso che in ogni cosa vi sono particelle di tutti i semi, divisibili all'infinito. Gli aggregati nascono e muoiono di continuo, ma non i semi, che sono ingenerati ed eterni: la differenza tra un aggregato e l'altro sta solo nella prevalenza di determinati semi rispetto ad altri. Chi ha dato il via al movimento ordinato di aggregazione e separazione dei semi (la causa efficiente) è il Nous (la Mente), che è materia più leggera dei semi. Una volta avviato, il processo si autogestisce. La mescolanza di questi semi non ha un processo ciclico, ma lineare, verso l'infinito, per cui non deve tornare all'Uno primordiale. Non è neppure escluso che l'aggregazione abbia potuto far nascere mondi abitati diversi dal nostro. Poiché l'aggregazione avviene per contrasto di semi, anche la conoscenza si basa per contrasto: il simile conosce il dissimile (p.es. sento freddo perché sono caldo). La differenza tra la conoscenza umana e animale è di tipo quantitativo, poiché l'uomo ha le mani, è in grado di fare qualunque esperienza, di cui conserva memoria ed è padrone della techné, con cui può modificare qualunque ambiente in qualunque modo, in un progresso infinito. L'esperienza e il lavoro affinano moltissimo il cervello. * L'idea migliore di Empedocle (la trasformazione perenne delle cose) è stata ripresa da Anassagora, il quale fece proprio anche l'ateismo di Senofane. Anassagora è uno "scienziato" (per come allora si potesse esserlo) che tiene rigorosamente separate la fisica dalla metafisica, l'astronomia dall'etica, ecc. Ed è uno scienziato che privilegia le scienze esatte: matematica, astronomia, medicina e biologia. Inoltre è uno scienziato dichiaratamente "ateo", tant'è che fu accusato dagli aristocratici di empietà. Dalla sua scienza dipende l'atomismo di Democrito. Anassagora assomiglia ad Empedocle quando afferma che il movimento dei fenomeni è generato da un Nous immobile (per Empedocle erano le quattro radici ad essere immobili). Ma se ne differenzia quando evita di attribuire a questo Nous una qualche finalità etica o metafisica. Il Nous ordina il cosmo secondo una causa efficiente, non secondo un fine. Anassagora permette di distinguere la natura dall'essere umano, anche se fino a un certo punto. L'uomo, nella concezione fisicista di Anassagora, non è superiore alla natura in maniera qualitativa. La superiorità dell'uomo rispetto agli animali risiede nel fatto ch'egli dispone delle "mani", le quali gli hanno permesso di sviluppare il cervello, cioè l'intelligenza, l'esperienza, la memoria, il sapere e la tecnica. Il materialismo di Anassagora è meccanicistico (vedi ad es. quello di Monod). Egli tuttavia intuì sia l'infinità della materia che l'equivalenza tra microcosmo e macrocosmo ("nel tutto c'è tutto", dice la sua cosmologia). Per Anassagora "il tutto nel tutto" voleva senza dubbio essere un'affermazione scientifica. Senonché, con gli scarsi strumenti di cui allora si disponeva, essa ha finito col trasformarsi in un'affermazione filosofica. Non solo, ma quell'affermazione, di per sé, non era in grado di favorire lo sviluppo della conoscenza scientifica, poiché non poneva i limiti che distinguono un enunciato vero da uno falso, anzi possono indurre un certo relativismo gnoseologico. La sua teoria della conoscenza - in questo aveva ragione Aristotele - sembra restare aperta a qualunque soluzione. Probabilmente l'aspetto più significativo di questa teoria, è la concezione funzionale-strumentale del sapere, che, a suo dire, va finalizzato a delle applicazioni tecniche (manuali), evitando risolutamente le mere astrazioni. Tuttavia l'idea di far dipendere la conoscenza dalle sensazioni non è stata molto felice. Non si può ridurre l'esperienza umana a un complesso di sensazioni, anche se è vero che la sensazione, per Anassagora, va al di là del concetto di "senso" (che è riferibile anche agli animali), in quanto la sensazione è strettamente legata all'intelligenza, tant'è che essa è in grado di cogliere un fenomeno anche a partire dal suo contrario (in questo Anassagora supera nettamente Empedocle). Resta comunque limitativo il fatto di attribuire alla mera sensazione il motore che fa muovere l'intelligenza (questo modo di ragionare lo si ritroverà nei sensisti inglesi e francesi), anche perché, in tal modo, l'uomo viene ad essere sminuito rispetto alla natura, la quale è mossa da un'intelligenza (il Nous) che somiglia vagamente a un'entità divina. In realtà, l'intelligenza umana gode di una relativa autonomia rispetto alle sensazioni, o quanto meno essa è in grado di rielaborarle secondo schemi mentali che non sono impliciti nelle sensazioni, né da queste desumibili. Altrimenti non si spiegherebbe il motivo per cui davanti a fenomeni negativi, osservati quotidianamente, un individuo reagisce in maniera passiva e un altro in maniera costruttiva. Probabilmente, l'assenza di dialettica in Anassagora è dovuta all'assunzione inconsapevole del principio parmenideo dell'essere (identificato col Nous, in virtù del quale però egli pensava di superare Parmenide). La differenza tra i due principi è la stessa che passa tra uno scienziato e un metafisico. Di fronte a un metafisico, lo scienziato rischia sempre di sentirsi condizionato intellettualmente, se non trova il modo di agganciare le scienze naturali a quelle umane. Se Anassimandro l'avesse fatto, l'importanza di Parmenide sarebbe stata immediatamente oscurata. Egli comunque resta la terza via originata dalla concezione dell'essere di Parmenide, dopo quella estremista di Zenone e quella moralista di Empedocle. Enrico Galavotti * * * Verso la fine del VI sec. a.C. i persiani distrussero le colonie ioniche, arrestando anche il progresso della filosofia che proprio lì aveva avuto inizio. Nel 480 a.C. una coalizione greca guidata da Atene riprende il controllo sull'Egeo creando una zona di influenza cui saranno soggette le città ioniche. Atene così sostituisce Mileto nel ruolo di guida dal punto di vista economico, politico e culturale, spingendo per questo motivo molti filosofi a trasferirvisi. Il primo di questi è Anassagora di Clazomene, ritenuto colui che per primo ha portato la filosofia ad Atene, anche se nonostante questo e nonostante il contesto storico già mutato le sue radici affondano nel pensiero ionico. L'ambiente che egli trovò era favorevole alla riflessione, in quanto l'aristocrazia si fece interprete delle esigenze provenienti dal nuovo ceto degli artigiani e dei commercianti. Anassagora fu consigliere personale di Pericle, ma anche ideologo del demos, cerniera di un equilibrio che cesserà nel 430 a.C., quando egli sarà processato per empietà a causa della concezione ateistica della sua astronomia (sosteneva che il sole era solo un metallo infuocato). Anassagora nasce a Clazomene (in Asia Minore) nel 500 a.C., ma dal 463 al 433 a.C. vive ad Atene, da cui sarà costretto ad andarsene per le accuse di ateismo che gli furono rivolte; la morte si colloca nel 428 a.C.. Oltre ad essere consigliere di Pericle, egli fu anche maestro e tenne pubbliche lezioni (fra i suoi uditori ci furono Ippocrate e Socrate). Anche a Lampsaco, dove morì, egli fondò una scuola. Si occupò di matematica, astronomia, medicina e biologia, e compose un trattato cui venne dato poi il titolo Sulla Natura (opera che egli diffuse anche al di fuori della cerchia dei suoi uditori, tanto da essere considerata la prima opera venduta sull'agorà), di cui ci restano numerosi frammenti. La sua cosmologia pone all'origine del mondo non un materiale indistinto, ma i semi (omeomerie) da cui poi avrebbero avuto origine tutte le cose. Questi esistono in numero illimitato e si compongono fra loro dando luogo a diversi aggregati (teoria questa che aprirà la strada all'atomismo). Piuttosto che di nascita e morte, egli preferisce parlare solo di composizione e scomposizione degli elementi. Il passaggio dal disordine originario all'ordine, avviene grazie ad un principio ordinatore che agisce dall'esterno, il Nous, una intelligenza che non genera il mondo (non dimentichiamo che nel pensiero greco dei primi secoli è assente il concetto di creazione) ma che lo forma soltanto (come farà poi anche il demiurgo platonico). E' importante precisare che per Anassagora questo nous non è un dio, ma un principio materiale la cui azione non è provvidenziale o finalistica, ma meccanica. Anassagora riprende la concezione di Senofane per la quale il sapere è ricerca attiva, ma aggiunge anche che questa consiste in un processo che si sviluppa attraverso le fasi dell'esperienza, della memoria, del sapere e della tecnica. Il sapere poi non è fine a se stesso, ma culmina nelle applicazioni tecniche manuali (mostrando così come egli sia l'espressione di quel ceto artigianale che si andava candidando ad un ruolo di antagonista all'aristocrazia nella guida della città). Anassagora sarà perciò vittima della controffensiva aristocratica che vedrà soccombere il demos e quella cultura che da Talete in poi ne era venuta esprimendo le esigenze.
Pitagora di Samo viene spesso descritto come il primo matematico puro. E' una figura estremamente importante nello sviluppo della matematica; tuttora conosciamo relativamente poco a proposito delle sue scoperte matematiche. A differenza di molti matematici greci successivi, di cui per lo meno abbiamo alcuni libri che scrissero, non abbiamo nulla degli scritti di Pitagora. La scuola, che egli condusse, in parte religiosa e in parte scientifica, seguì un codice di segretezza, e sicuramente questo implica che oggi Pitagora sia una figura misteriosa. Oggi abbiamo dettagli sulla vita di Pitagora, che provengono da antiche biografie, le quali utilizzano fonti importanti e originali, ma che sono scritte da autori, i quali gli attribuiscono ancora poteri divini, e il cui scopo fu di presentarlo come un dio. Ciò che presentiamo sotto è un tentativo di unire insieme le fonti più attendibili per ricostruire l'importanza che ebbe la vita di Pitagora. In generale gli storici sono d'accordo sugli eventi principali della sua vita, ma molte date sono ancora oggetto di discussione tra studiosi diversi, le cui ipotesi differiscono anche di venti anni. Alcuni storici ritengono queste informazioni semplicemente una leggenda ma, anche se il lettore le considera in questo modo, essendo dei documenti talmente antichi, sono comunque di importanza storica. Il padre di Pitagora fu Mnesarco mentre la madre si chiamava Pythais ed era nativa di Samo. Mnesarco era un mercante proveniente da Tiro, ed esiste una leggenda secondo cui egli portò il grano a Samo in un periodo di carestia e per questo gli venne accordata la cittadinanza di Samo, in segno di riconoscenza. Quando era bambino, Pitagora trascorse i suoi primi anni a Samo, ma viaggiò molto con suo padre. Ci sono racconti secondo cui Mnesarco ritornò a Tiro con Pitagora e che qui egli ricevette l'insegnamento dei Caldeani e degli uomini dotti della Siria. Sembra che, con suo padre, egli abbia anche visitato l'Italia. L'infanzia di Pitagora è poco conosciuta. E' possibile che tutti i racconti sul suo aspetto fisico siano faziosi, fatta eccezione per la descrizione di una straordinaria voglia, che Pitagora aveva sulla sua coscia. Si presume che egli avesse due fratelli, sebbene alcune fonti dicano che ne avesse tre. Sicuramente ricevette una buona educazione, imparando a suonare la lira, imparando la poesia e recitando Omero. C'erano, tra i suoi insegnanti, tre filosofi, che influenzarono Pitagora, quand'era giovane. Uno dei più importanti fu Pherekydes, che molti descrivono come il maestro di Pitagora. Gli altri due filosofi, che influenzarono Pitagora, e che lo introdussero nel mondo delle idee matematiche, furono Talete e il suo allievo Anassimandro, che vissero entrambi a Mileto. Si dice che Pitagora fece visita a Talete, a Mileto, quando aveva tra i diciotto e i venti anni. A quel tempo, Talete era un uomo già in età avanzata e, sebbene egli abbia suscitato un forte interesse in Pitagora, probabilmente non gli insegnò moltissimo. Comunque, egli contribuì ad aumentare l'interesse di Pitagora verso la matematica e l'astronomia, e gli consigliò di recarsi in Egitto, per imparare di più su queste discipline. L'allievo di Talete, Anassimandro, teneva delle lezioni a Mileto, e Pitagora frequentò queste lezioni. Anassimandro, sicuramente, era interessato alla geometria e alla cosmologia e molte delle sue idee potrebbero aver influenzato il punto di vista personale di Pitagora. Circa nel 535 a.C., Pitagora andò in Egitto. Questo accadde alcuni anni dopo che il tiranno Policrate prese il controllo della città di Samo. Esistono alcune testimonianze che suggeriscono che Pitagora e Policrate diventarono subito amici e si dice che Pitagora andò in Egitto con una lettera di presentazione, scritta da Policrate stesso. Infatti, Policrate aveva stipulato un'alleanza con l'Egitto e c'erano perciò solidi collegamenti tra Samo e l'Egitto, a quel tempo. I racconti del periodo che Pitagora passò in Egitto suggeriscono che egli visitò molti templi e prese parte a molte discussioni con i sacerdoti. In accordo con Porfirio a Pitagora fu impedito di entrare in tutti i templi, eccetto quello a Diospolis, dove venne accettato nel clero, dopo aver completato i rituali necessari per l'inserimento. Non è difficile menzionare molte delle credenze di Pitagora sui costumi che trovò in Egitto, credenze che egli avrebbe imposto successivamente nella scuola, che fondò in Italia. Per esempio, la discrezione dei preti egizi, il loro rifiuto di mangiare fagioli, il loro rifiuto di indossare addirittura vestiti fatti con le pelli di animali, il loro sforzo di ottenere la purificazione furono tutti costumi che Pitagora avrebbe adottato più tardi. Porfirio dice che Pitagora imparò la geometria dagli Egizi, ma è probabile che egli fosse stato già a conoscenza della geometria, sicuramente in seguito agli insegnamenti di Talete e Anassimandro. Nel 525 a.C., Cambise II, il re della Persia, invase l'Egitto. Policrate abbandonò la sua alleanza con l'Egitto e inviò quaranta navi da unire alla flotta persiana, contro gli Egizi. Dopo che Cambise ebbe vinto la Battaglia di Pelusium sul Delta del Nilo ed ebbe conquistato Heliopolis e Memphis, crollò la resistenza degli Egizi. Pitagora fu fatto prigioniero e portato a Babilonia. Circa nel 520 a.C., Pitagora andò via da Babilonia e ritornò a Samo. Policrate era stato ucciso, circa nel 522 a.C., e Cambise morì nell'estate del 522 a.C. , o suicidandosi o in seguito ad un incidente. Le morti di questi sovrani potrebbero essere state un fattore che affrettò il ritorno di Pitagora a Samo, ma non è affatto spiegato come Pitagora ottenne la sua libertà. Dario di Persia aveva preso il controllo di Samo, dopo la morte di Policrate e dovrebbe aver controllato l'isola al ritorno di Pitagora. Questo contrasta con i racconti di Porfirio e Diogene Laerzio, i quali sostengono che Policrate aveva ancora il controllo di Samo, quando Pitagora vi ritornò. Pitagora fece un viaggio a Creta, per un breve periodo, dopo il suo ritorno a Samo, per studiare il sistema legislativo che vigeva là. Ritornato a Samo, egli fondò una scuola che fu chiamata il semicircolo. Pitagora lasciò Samo e si recò nella parte meridionale dell'Italia circa nel 518 a.C. circa. Iamblichus fornisce alcune ragioni per la sua partenza. Pitagora fondò una scuola filosofica e religiosa a Crotone (nella parte sud-est dell'Italia) che ebbe molti seguaci. Egli fu il capo della scuola, insieme ad un circolo interno di seguaci conosciuti come mathematikoi. I mathematikoi vivevano nella scuola permanentemente, non avevano possedimenti privati ed erano vegetariani. Pitagora stesso provvedeva alla loro istruzione ed essi obbedivano a regole severe. Le regole che Pitagora stabilì furono 1) che al suo livello più profondo, la realtà è la matematica nella natura, 2) che la filosofia può essere usata per la purificazione spirituale, 3) che l'anima può elevarsi al fine di unirsi al divino, 4) che determinati simboli hanno un significato mistico, e 5) che tutti i fratelli dell'ordine devono osservare una stretta fedeltà e discrezione. Sia agli uomini che alle donne era permesso diventare membri della Scuola, infatti molte donne della scuola pitagorica successivamente diventarono filosofi famosi. I membri del circolo esterno della Scuola erano conosciuti come gli akousmatics, vivevano nelle loro proprie case, e andavano alla Scuola soltanto durante il giorno. A loro era permesso avere possedimenti propri e non era loro richiesto di essere vegetariani. Del lavoro reale di Pitagora non si conosce nulla. La sua scuola praticò la discrezione e la comunione dei beni, rendendo difficile la distinzione tra le opere di Pitagora e quelle dei suoi seguaci. Sicuramente, la sua Scuola diede importanti contributi alla matematica, ed è possibile essere abbastanza certi a proposito di alcuni contributi matematici di Pitagora stesso. In primo luogo, dovrebbe esserci chiaro in che senso Pitagora e i matematikoi studiavano la matematica. Essi non si comportavano come un gruppo di ricercatori matematici che operano in una moderna università o in un'altra istituzione. Non c'erano "problemi aperti" per loro da risolvere, ed essi non erano in alcun modo interessati al tentativo di formulare o risolvere problemi matematici. Piuttosto, Pitagora fu interessato ai principi della matematica, al concetto di numero, al concetto di triangolo o di altre figure matematiche e all'idea astratta di dimostrazione. Oggi siamo diventati così precisi dal punto di vista matematico, che facciamo fatica a riconoscere il due come una quantità astratta. C'è un salto notevole dal dire che 2 navi + 2 navi = 4 navi al risultato astratto 2+2=4, che si applica non solo alle navi, ma anche alle penne, alle persone, e alle case etc. C'è ancora un altro gradino superiore, nel vedere la nozione astratta di 2 come una cosa vera e propria, in un certo senso, una parte di 2 come qualcosa di reale, come una nave o una casa. Pitagora credeva che tutte le relazioni potessero essere ridotte a relazioni tra numeri. Questa generalizzazione derivò dalle osservazioni di Pitagora nel mondo della musica, della matematica e dell'astronomia. Pitagora notò che le cordicelle che vibrano, producono toni armoniosi, quando i rapporti delle lunghezze delle cordicelle sono numeri interi, e che questi rapporti possono essere estesi ad altri strumenti. Infatti, egli diede notevoli contributi alla teoria matematica della musica. Fu un bravo musicista, in grado di suonare la lira, e usò la musica per aiutare coloro che erano malati. Pitagora studiò le proprietà dei numeri che sono conosciute dai matematici oggi, come i numeri pari e dispari, i numeri triangolari, i numeri perfetti etc. Comunque, per lui i numeri avevano una personalità che noi difficilmente riconosciamo oggi un qualcosa di matematico. Naturalmente, noi oggi ricordiamo Pitagora in particolare per il suo famoso teorema geometrico. Sebbene il teorema, oggi conosciuto come il teorema di Pitagora, era già noto ai Babilonesi 1000 anni prima, egli dovrebbe essere stato il primo a dimostrarlo. Nelle loro pratiche etiche, i Pitagorici furono famosi per la loro amicizia reciproca, il loro altruismo e la loro onestà. La scuola di Pitagora, a Crotone, non fu impassibile agli eventi politici, a dispetto del suo desiderio di star fuori dalla politica. Pitagora andò a Delo, nel 513 a.C., per curare il suo vecchio maestro Pherekydes, che era in punto di morte. Egli rimase là per alcuni mesi, fino alla morte del suo amico e maestro e, dopo, tornò a Crotone. Nel 510 a.C., Crotone attaccò e sconfisse la città vicina di Sibari e si ritiene quasi con certezza che Pitagora venne coinvolto nella disputa. In seguito, intorno al 508 a.C., la Scuola Pitagorica a Crotone fu attaccata da Cylon, un nobile della stessa Crotone. Pitagora scappò nel Metaponzio e molti autori dicono che morì là, altri asseriscono che egli si suicidò a causa dell'attacco alla sua Scuola. Non è chiara la testimonianza di quando e dove accadde la morte di Pitagora. Sicuramente, la Scuola Pitagorica si sviluppò rapidamente dopo il 500 a.C., diventò politica nella natura e si divise anche in una serie di fazioni.
Scrivere una biografia di Apastamba è essenzialmente impossibile poiché non si sa nulla di lui, tranne che è stato l'autore di un Sulbasutra che è certamente più tardi del Sulbasutra di Baudhayana . Sarebbe anche giusto dire che il Sulbasutra di Apastamba è il più interessante da un punto di vista matematico. Non conosciamo le date di Apastamba con una precisione tale da indovinarne anche una durata di vita, motivo per cui abbiamo dato lo stesso anno di nascita approssimativo dell'anno della morte. Apastamba non era né un matematico nel senso che lo capiremmo oggi, né uno scriba che semplicemente copiò manoscritti come Ahmes . Sarebbe stato certamente un uomo di cultura molto considerevole, ma probabilmente non era interessato alla matematica fine a se stesso, ma semplicemente interessato a usarlo per scopi religiosi. Indubbiamente scrisse il Sulbasutra per fornire regole per i riti religiosi e per migliorare ed espandere le regole che erano state date dai suoi predecessori. Apastamba sarebbe stato un sacerdote vedico che istruiva il popolo nei modi di condurre i riti religiosi che descrive. La matematica data nel Sulbasutras è lì per consentire la costruzione accurata degli altari necessari per i sacrifici. È chiaro dalla scrittura che Apastamba, oltre ad essere un prete e un insegnante di pratiche religiose, sarebbe stato un abile artigiano. Doveva essere egli stesso abile nell'uso pratico della matematica che descriveva come un artigiano che egli stesso costruiva altari sacrificali di altissima qualità.
Talete di Mileto era il figlio di Examyes e Cleobuline. Alcuni dicono che i suoi genitori provengono da Mileto, ma altri riferiscono che erano fenici. J Longrigg scrive in [ 1 ]: - Ma l'opinione della maggioranza lo considerava un vero miliardario di discendenza e di una famiglia distinta. Thales sembra essere il primo filosofo, scienziato e matematico greco noto benché la sua occupazione fosse quella di un ingegnere. Si crede che sia stato l'insegnante di Anassimandro (611 aC - 545 aC) e fu il primo filosofo naturale della Scuola Milese. Tuttavia, nessuno dei suoi scritti sopravvive, quindi è difficile determinare le sue opinioni o essere certo delle sue scoperte matematiche. In effetti non è chiaro se abbia scritto qualche opera e se l'ha fatto sono stati certamente persi al tempo di Aristotelechi non ha avuto accesso agli scritti di Thales. D'altra parte ci sono affermazioni che ha scritto un libro sulla navigazione, ma queste sono basate su poche prove. Nel libro sulla navigazione si suggerisce di usare la costellazione dell'Orsa Minore, che ha definito, come una caratteristica importante nelle sue tecniche di navigazione. Anche se il libro è fittizio, è abbastanza probabile che Thales abbia effettivamente definito la costellazione dell'Orsa Minore. Proclo , l'ultimo grande filosofo greco, vissuto intorno al 450 d.C., scrisse: [ Thales ] andò prima in Egitto e da lì introdusse questo studio [ geometria ] in Grecia. Scoprì molte proposizioni egli stesso e istruì i suoi successori sui principi sottostanti a molti altri, il suo metodo di attaccare i problemi aveva in alcuni casi una maggiore generalità ed era più nella natura di semplice ispezione e osservazione in altri casi. C'è una difficoltà nella scrittura di Talete e altri di un periodo simile. Anche se ci sono numerosi riferimenti a Thales che ci consentirebbero di ricostruire un buon numero di dettagli, le fonti devono essere trattate con cura poiché era l'abitudine del tempo di accreditare uomini famosi con scoperte che non avevano fatto. In parte questo era il risultato dello status leggendario raggiunto da uomini come Thales, e in parte era il risultato di scienziati con relativamente poca storia dietro ai loro soggetti che cercavano di aumentare lo status del loro argomento dandogli un background storico. Certamente Thales era una figura di enorme prestigio, essendo l'unico filosofo prima di Socrate ad essere tra i Sette Saggi. Plutarco , scrivendo di questi Sette Saggi, dice che (vedi [ 8 ]): - [ Talete ] fu apparentemente l'unico di questi la cui saggezza si fece strada, nella speculazione, oltre i limiti dell'utilità pratica, il resto acquisì la reputazione di saggezza in politica. Questo commento di Plutarco non dovrebbe essere visto come dicendo che Thales non ha funzionato come un politico. In effetti ha fatto. Convinse gli stati separati di Ionia a formare una federazione con una capitale a Teos. Ha dissuaso i suoi compatrioti dall'accettare un'alleanza con Creso e, di conseguenza, ha salvato la città. È stato riferito che Thales predisse un'eclissi del Sole nel 585 aC. Il ciclo di circa 19 anni per le eclissi della Luna era ben noto in questo momento, ma il ciclo per le eclissi del Sole era più difficile da individuare poiché le eclissi erano visibili in diversi luoghi sulla Terra. La previsione di Thales dell'eclissi del 585 aC era probabilmente un'ipotesi basata sulla consapevolezza che un'eclissi intorno a quel tempo era possibile. Le affermazioni secondo cui Thales usò il saro babilonese, un ciclo di 18 anni per 10 giorni e 8 ore, per prevedere l'eclisse è stato dimostrato da Neugebauer come altamente improbabile poiché Neugebauer mostra in [ 11 ] che il saros era un'invenzione di Halley . Neugebauer ha scritto [ 11 ]: - ... non esiste un ciclo per le eclissi solari visibili in un dato luogo: tutti i cicli moderni riguardano la Terra nel suo complesso. Nessuna teoria babilonese per predire un'eclissi solare esisteva nel 600 aC, come si può vedere dalla situazione molto insoddisfacente dopo 400 anni, né i babilonesi svilupparono mai alcuna teoria che tenesse conto dell'influenza della latitudine geografica. Dopo l'eclissi del 28 maggio, 585 a. C. Erodoto scrisse: ... il giorno è stato improvvisamente cambiato nella notte. Questo evento era stato predetto da Thales, il Milesiano, che ne avvertì gli ioniani, fissandone l'anno stesso in cui si svolse. I Medi e Lidi, quando osservarono il cambiamento, cessarono i combattimenti, ed erano ugualmente ansiosi di concordare condizioni di pace. Longrigg in [ 1 ] dubita anche che Thales abbia predetto l'eclisse indovinando, scrivendo: - ... una spiegazione più probabile sembra essere semplicemente che Thales è stato il savant in giro nel momento in cui si è verificato questo fenomeno astronomico sorprendente e si è ipotizzato che, in quanto savant, deve essere stato in grado di prevederlo. Ci sono diversi resoconti su come Thales ha misurato l'altezza delle piramidi. Diogene Laerzio che scrive nel II secolo d.C. cita Hieronymus, un allievo di Aristotele [ 6 ] (o vedi [ 8 ]): - Hieronymus dice che [ Thales ] è persino riuscito a misurare le piramidi osservando la lunghezza della loro ombra nel momento in cui le nostre ombre sono uguali alla nostra altezza. Ciò sembra non contenere una conoscenza geometrica sottile, ma semplicemente un'osservazione empirica che nell'istante in cui la lunghezza dell'ombra di un oggetto coincide con la sua altezza, allora lo stesso sarà vero per tutti gli altri oggetti. Una dichiarazione simile è fatta da Plinio (vedi [ 8 ]): - Thales ha scoperto come ottenere l'altezza delle piramidi e di tutti gli altri oggetti simili, cioè misurando l'ombra dell'oggetto nel momento in cui un corpo e la sua ombra sono uguali in lunghezza. Plutarco tuttavia racconta la storia in una forma che, se accurata, significherebbe che Thales si stava avvicinando all'idea di triangoli simili: ... senza problemi o con l'aiuto di qualsiasi strumento [ egli ] si limitò a mettere un bastone all'estremità dell'ombra proiettata dalla piramide e, avendo così realizzato due triangoli dall'impatto dei raggi del sole, ... mostrò che il la piramide ha per bastone la stessa proporzione che l'ombra [ della piramide ] ha per l'ombra [ del bastone ] Naturalmente Thales avrebbe potuto usare questi metodi geometrici per risolvere problemi pratici, avendo semplicemente osservato le proprietà e non avendo alcun apprezzamento su cosa significasse dimostrare un teorema geometrico. Questo è in linea con le opinioni di Russell che scrive dei contributi di Thales alla matematica in [ 12 ]: Si dice che Talete abbia viaggiato in Egitto e che abbia quindi portato ai greci la scienza della geometria. Ciò che gli egiziani conoscevano della geometria era principalmente una regola empirica, e non c'è ragione di credere che Thales arrivasse a prove deduttive, come scoprirono i Greci successivi. D'altra parte BL van der Waerden [ 16 ] afferma che Thales mise la geometria su un piano logico ed era ben consapevole della nozione di dimostrare un teorema geometrico. Tuttavia, sebbene ci siano molte prove che suggeriscono che Thales abbia apportato alcuni contributi fondamentali alla geometria, è facile interpretare i suoi contributi alla luce della nostra conoscenza, credendo in tal modo che Thales abbia avuto un apprezzamento più completo della geometria di quanto avrebbe potuto ottenere. In molti libri di testo sulla storia della matematica, a Thales vengono attribuiti cinque teoremi di geometria elementare: Un cerchio è bisecato da qualsiasi diametro . Gli angoli di base di un triangolo isoscele sono uguali . Gli angoli tra due linee rette che si intersecano sono uguali . Due triangoli sono congruenti se hanno due angoli e un lato uguale . Un angolo in un semicerchio è ad angolo retto . Qual è la base per queste affermazioni? Proclo , scrivendo intorno al 450 d.C., è la base per le prime quattro di queste affermazioni, nel terzo e nel quarto caso citando l'opera Storia della geometria di Eudemo di Rodi , che fu allievo di Aristotele , come sua fonte. La Storia della geometria di Eudemo è ormai persa, ma non c'è motivo di dubitare di Proclo . Il quinto teorema si crede che sia a causa di Thales a causa di un passaggio da Diogene Laerzio libro Vite di eminenti filosofi scritte nel secondo secolo dC [ 6 ]: - Pamphile dice che Thales, che imparò la geometria dagli egiziani, fu il primo a descrivere su un cerchio un triangolo che doveva essere ad angolo retto e che sacrificò un bue ( sulla base della scoperta ) . Altri, tuttavia, incluso Apollodoro il calcolatore, dicono che era Pitagora . Un esame più approfondito delle fonti, tuttavia, dimostra che, anche se sono accurate, potremmo accreditare troppo a Thales. Per esempio Proclus usa una parola che significa qualcosa di più simile a "simile" piuttosto che "uguale - nel descrivere (ii). È molto probabile che Thales non avesse nemmeno un modo per misurare gli angoli, quindi gli "angoli uguali" non sarebbero stati un concetto che avrebbe compreso con precisione. Potrebbe aver preteso nient'altro che "Gli angoli di base di un triangolo isoscele sembrano simili". Il teorema (iv) è stato attribuito a Thales da Eudemus per ragioni non del tutto convincenti. Scrive Proclus (vedi [ 8 ]): - [ Eudemus ] dice che il metodo con cui Thales ha mostrato come trovare le distanze delle navi dalla riva implica necessariamente l'uso di questo teorema. Heath in [ 8 ] fornisce tre diversi metodi che Thales potrebbe aver usato per calcolare la distanza di una nave in mare. Il metodo che ritiene più probabile che Thales abbia usato è stato quello di avere uno strumento composto da due bastoncini inchiodati su una croce in modo che potessero essere ruotati attorno all'unghia. Un osservatore andò poi in cima a una torre, posizionò un bastone verticalmente (usando un filo a piombo) e poi ruotò il secondo bastone attorno all'unghia fino a quando non puntò verso la nave. Quindi l'osservatore fa ruotare lo strumento, mantenendolo fisso e verticale, finché lo stick mobile non punta in un punto adatto sul terreno. La distanza di questo punto dalla base della torre è uguale alla distanza dalla nave. Sebbene il teorema (iv) sia alla base di questa applicazione, sarebbe stato del tutto possibile per Thales concepire un tale metodo senza apprezzare nulla dei "triangoli congruenti". Come commento finale su questi cinque teoremi, ci sono storie contrastanti riguardo al teorema (iv) come lo stesso Diogenes Laertius è a conoscenza. Anche Pamphile non può essere considerato un'autorità dal momento che visse nel I secolo d.C., molto tempo dopo il tempo di Talete. Altri hanno attribuito la storia del sacrificio di un bue a Pitagora alla scoperta del teorema di Pitagora . Certamente c'è molta confusione e poca certezza. La nostra conoscenza della filosofia di Talete è dovuta ad Aristotele che scrisse nella sua Metafisica : Talete di Mileto insegnò che "tutte le cose sono acqua". Questo, come scrive Brumbaugh [ 5 ]: ... può sembrare un inizio poco promettente per la scienza e la filosofia come li conosciamo oggi; ma, sullo sfondo della mitologia da cui è sorto, è stato rivoluzionario. Sambursky scrive in [ 15 ]: - Fu Thales che per primo concepì il principio di spiegare la moltitudine dei fenomeni con un piccolo numero di ipotesi per tutte le varie manifestazioni della materia. Thales credeva che la Terra galleggia sull'acqua e tutte le cose vengono dall'acqua. Per lui la Terra era un disco piatto che galleggiava su un oceano infinito. È stato anche affermato che Thales ha spiegato i terremoti dal fatto che la Terra galleggia sull'acqua. Ancora una volta l'importanza dell'idea di Talete è che è la prima persona registrata a cercare di spiegare tali fenomeni con mezzi razionali piuttosto che con mezzi soprannaturali. È interessante notare che Thales ha entrambe le storie raccontate delle sue grandi capacità pratiche e del fatto che sia un sognatore non mondano. Aristotele , per esempio, racconta una storia di come Thales usasse le sue capacità per dedurre che il raccolto di olive della prossima stagione sarebbe molto grande. Comprò quindi tutti i frantoi e poi poté fare una fortuna quando arrivò davvero il raccolto olivastro. D'altra parte, Platone racconta la storia di come una notte Thales osservava il cielo mentre camminava e cadeva in un fosso. Una bella ragazza lo ha tirato fuori e gli ha detto "Come ti aspetti di capire cosa sta succedendo nel cielo se non vedi nemmeno quello che è ai tuoi piedi". Come dice Brumbaugh, forse questo è il primo scherzo del professore distratto in Occidente! Il busto di Thales mostrato sopra è nel Museo Capitolino di Roma, ma non è contemporaneo con Thales ed è improbabile che abbia qualche somiglianza con lui.
Poco si sa della vita di Anassimandro di Mileto, ma sappiamo un po 'attraverso gli scritti di Aristotele , Apollodoro e Diogene Laerzio e altri. Dobbiamo sottolineare che Apollodoro, sebbene scrivesse nel II secolo aC, era ancora 500 anni più tardi di Anassimandro mentre Diogene scrisse quasi 500 anni dopo Apollodoro. Possibili dettagli di Anassimandro da queste fonti suggeriscono che fosse figlio di Praxiades e allievo di Talete . Un antico testo afferma che Thales era imparentato con Anassimandro - forse suo zio. Potrebbe essere riuscito a Taletecome capo della sua Scuola di Filosofia a Mileto (come riportato da Diogene). Si dice che abbia viaggiato molto e fondato una colonia chiamata Apollonia sulla costa del Mar Nero [ 9 ]: - Si dice anche che mostrasse modi solenni e indossasse abiti pomposi. Nessuno degli scritti di Anassimandro sopravvive, ma sappiamo qualcosa delle sue opere che erano ancora disponibili per Aristotele e Apollodoro. Si pensa che i suoi scritti principali siano stati Sulla natura , Sulle stelle fisse , Geometra topografica , Sfera , Mappa della Grecia e Mappa del mondo. L'importanza del suo lavoro è che ha introdotto principi scientifici e matematici nello studio dell'astronomia e della geografia. Non si dovrebbe avere l'impressione che ciò renda plausibili le sue idee alla luce delle conoscenze moderne, ma tuttavia il tentativo di portare principi scientifici e matematici in aree che erano state in gran parte dominio del misticismo fino a quel momento deve significare che Anassimandro gioca un ruolo importante ruolo nello sviluppo della scienza. Diamo un'occhiata alle sue idee. Anassimandro credeva che la terra fosse un cilindro. Se questo sembra un po 'strano, allora crediamo che il suo ragionamento fosse che se si guardava intorno si vedeva un cerchio, allora usava un argomento di simmetria per sostenere che c'era un altro cerchio con un cilindro in mezzo. Sembra che sia stato il primo a sostenere che il sole, la luna, i pianeti e le stelle ruotavano attorno alla terra così il sole che sorgeva al mattino era lo stesso sole che era scomparso la sera del giorno precedente. Vide ogni corpo celeste come un buco in una ruota circolare opaca contenente fuoco e che circondava la terra. Sosteneva anche che i corpi celesti si trovavano a diverse distanze dalla terra, ma aveva completamente torto nel credere che le stelle fossero più vicine di qualsiasi altro corpo celeste. Tuttavia, tentò di dare le dimensioni dell'universo.12 ]. Nel modello di Anassimandro, la terra è sospesa nel mezzo dei corpi celesti in rotazione. Che cosa poi lo mantiene in posizione? Aristotele scrive: Ma ci sono alcuni che dicono che la terra rimane dov'è per l'uguaglianza, come tra gli Anonimi Anassimandro. Perché ciò che è situato nel centro e ad uguali distanze dagli estremi, non ha alcuna inclinazione ad alzarsi piuttosto che verso il basso o lateralmente; e poiché è impossibile muoversi in direzioni opposte nello stesso tempo, esso rimane necessariamente dov'è. Sappiamo anche che Anassimandro tentò di dare una spiegazione su come l'universo venne alla luce. La sua filosofia sosteneva che tutte le cose derivavano da "apeiron", l'Infinito. Aristotele scrive: Tutto ha un'origine o è un'origine. L'illimitato non ha origine. Per allora avrebbe un limite. Inoltre, è sia non nato che immortale, essendo un tipo di origine. Perché ciò che è diventato ha anche, necessariamente, una fine, e c'è un termine per ogni processo di distruzione. Ora l'universo è stato creato dal Boundless: - Un germe, pieno di caldo e di freddo, fu separato dal Boundless, quindi da questo germe una sfera di fuoco crebbe intorno al vapore che circonda la terra, come una corteccia attorno a un albero. La sfera di fuoco si divideva in diverse ruote che erano allora le ruote delle stelle, della luna e del sole. Anassimandro discusse le origini della vita, così come le origini del cosmo. Sosteneva che la giovane terra era coperta di mari, alcuni dei quali cominciarono a seccarsi a causa del calore del sole. La vita è iniziata nel fango dei mari mentre si asciugavano. I primi animali avevano la pelle ricoperta di spine, ma dopo aver iniziato a vivere sulla terraferma, il calore del sole ha gradualmente causato agli animali di avere meno spine. Sosteneva che l'uomo non era adatto a vivere in questo mondo primitivo, quindi potrebbe essere sorto solo dagli animali che vivono sulla terraferma dopo che le condizioni sono diventate idonee. Si dovrebbe dire che questo è un risultato notevole, ancora tentando di applicare il ragionamento scientifico e logico in un'area in cui esistevano solo teorie mistiche. Sembra che Anassimandro fu la prima persona a tentare di produrre una mappa del mondo. Questa mappa, ovviamente, non esiste più, ma deve aver mostrato una terra circolare: la parte superiore del cilindro. Avrebbe il Mar Mediterraneo al centro e mostrare terre a nord ea sud, poiché questo era il mondo conosciuto in quel momento.
Manava era l'autore di uno dei Sulbasutras. La Manava Sulbasutra non è la più antica (quella di Baudhayana è più antica) né è una delle più importanti, poiché esistono almeno tre Sulbasutra che sono considerati più importanti. Non conosciamo le date di Manava con la precisione sufficiente per indovinarne una durata di vita, motivo per cui abbiamo dato lo stesso anno di nascita approssimativo dell'anno della morte. Gli storici non sono d'accordo nel 750 aC, e alcuni avrebbero messo questo Sulbasutra più tardi di cento o più anni. Manava non sarebbe stato un matematico nel senso che lo capiremmo oggi. Né era uno scriba che semplicemente copiò manoscritti come Ahmes . Sarebbe stato certamente un uomo di cultura molto considerevole, ma probabilmente non era interessato alla matematica fine a se stesso, ma semplicemente interessato a usarlo per scopi religiosi. Indubbiamente scrisse il Sulbasutra per fornire regole per i riti religiosi e sembrerebbe quasi sicuro che Manava stesso sarebbe un prete vedico. La matematica data nel Sulbasutras è lì per consentire la costruzione accurata degli altari necessari per i sacrifici. È chiaro dalla scrittura che Manava, oltre ad essere un prete, doveva essere un abile artigiano. Il Sulbasutra di Manava, come tutti i Sulbasutras, conteneva costruzioni approssimate di cerchi dai rettangoli e quadrati dai cerchi, che si può pensare che forniscano valori approssimativi di π. Appaiono perciò diversi valori di π in tutto il Sulbasutra, essenzialmente ogni costruzione che coinvolge cerchi porta ad una diversa approssimazione del genere.
Scrivere una biografia di Baudhayana è essenzialmente impossibile poiché non si sa nulla di lui tranne che è stato l'autore di uno dei primi Sulbasutra. Non conosciamo le sue date in modo abbastanza preciso da indovinarne anche una durata di vita, motivo per cui abbiamo dato lo stesso anno di nascita approssimativo dell'anno della morte. Non era né un matematico nel senso che lo capiremmo oggi, né uno scriba che semplicemente copiò manoscritti come Ahmes . Sarebbe stato certamente un uomo di cultura molto considerevole, ma probabilmente non era interessato alla matematica fine a se stesso, ma semplicemente interessato a usarlo per scopi religiosi. Indubbiamente scrisse il Sulbasutra per fornire le regole per i riti religiosi e sembrerebbe quasi una certezza che Baudhayana stesso sarebbe un prete vedico. La matematica data nel Sulbasutras è lì per consentire la costruzione accurata degli altari necessari per i sacrifici. È chiaro dalla scrittura che Baudhayana, oltre ad essere un prete, doveva essere un abile artigiano. Doveva essere egli stesso abile nell'uso pratico della matematica che descriveva come un artigiano che egli stesso costruiva altari sacrificali di altissima qualità. I Sulbasutras sono discussi in dettaglio nell'articolo Sulbasutras indiano . Di seguito diamo uno o due dettagli del Sulbasutra di Baudhayana, che conteneva tre capitoli, che è il più antico che possediamo e, sarebbe giusto dire, uno dei due più importanti.
Ahmes è lo scriba che scrisse il Rhind Papyrus (dal nome dell'egittologo scozzese Alexander Henry Rhind che andò a Tebe per motivi di salute, si interessò allo scavo e acquistò il papiro in Egitto nel 1858). Ahmes sostiene di non essere l'autore del lavoro, essendo, afferma, solo uno scriba. Dice che il materiale proviene da un precedente lavoro del 2000 aC circa. Il papiro è la nostra principale fonte di informazioni sulla matematica egiziana. Il Recto contiene la divisione di 2 per i numeri dispari da 3 a 101 in frazioni unitarie e i numeri da 1 a 9 per 10. Il Verso ha 87 problemi sulle quattro operazioni, soluzione di equazioni, progressioni, volumi di granai, la regola dei due terzi eccetera. Il Papiro di Rhind, che arrivò al British Museum nel 1863, è talvolta chiamato il "papiro di Ahmes" in onore di Ahmes. Non si sa nulla di Ahmes se non i suoi stessi commenti sul papiro.
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